ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 222 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Форму каких равных правильных многоугольников могут иметь дощечки паркета, чтобы ими можно было выстлать пол?

Можно замостить плоскость правильными многоугольниками, если количество углов около точки \( N \) — целое число. Сумма углов многоугольника равна \( a = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \). Количество углов около точки вычисляем по формуле \( N = \frac{360^\circ}{a} = \frac{2n}{n-2} \). Проверяем при \( n=3 \), \( N = \frac{2 \cdot 3}{3-2} = 6 \); при \( n=4 \), \( N = \frac{2 \cdot 4}{4-2} = 4 \); при \( n=6 \), \( N = \frac{2 \cdot 6}{6-2} = 3 \). Значит, правильные многоугольники, которыми можно замостить плоскость, это треугольник, квадрат и шестиугольник.

Для того чтобы замостить плоскость правильными многоугольниками без пробелов, нужно, чтобы количество многоугольников, сходящихся в одной точке, было целым числом. Обозначим количество сторон многоугольника через \( n \).

Сначала найдём величину каждого внутреннего угла правильного многоугольника. Формула для внутреннего угла равна \( a = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \).

Чтобы замостить плоскость, вокруг одной точки сумма углов многоугольников должна равняться \( 360^\circ \). Тогда количество углов, сходящихся в точке, равно \( N = \frac{360^\circ}{a} \).

Подставим значение \( a \) в формулу для \( N \):
\( N = \frac{360^\circ}{\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}} = \frac{360^\circ \cdot n}{(n-2) \cdot 180^\circ} = \frac{2n}{n-2} \).

Теперь проверим при каких \( n \) значение \( N \) будет целым числом.

Для \( n = 3 \) (треугольник):
\( N = \frac{2 \cdot 3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6 \), целое число.

Для \( n = 4 \) (квадрат):
\( N = \frac{2 \cdot 4}{4-2} = \frac{8}{2} = 4 \), целое число.

Для \( n = 6 \) (шестиугольник):
\( N = \frac{2 \cdot 6}{6-2} = \frac{12}{4} = 3 \), целое число.

Для других значений \( n \) \( N \) не будет целым числом, поэтому замостить плоскость можно только правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.