ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 223 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан правильный шестиугольник, сторона которого равна 1. Пользуясь только линейкой, постройте отрезок длиной \(\sqrt{7}\).

В правильном шестиугольнике сторона \( AB = 1 \). Угол \( \angle B = 120^\circ \).

В треугольнике \( ABC \) по теореме косинусов:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \)
\( AC^2 = 1^2 + 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = 1 + 1 — 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3 \)
\( AC = \sqrt{3} \)

Пусть \( K \) — точка, такая что \( \angle ACK = 90^\circ \), и \( CK = CD + DK = 2 \).

Тогда по теореме Пифагора:
\( AK = \sqrt{AC^2 + CK^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \)

Ответ: отрезок \( AK \) равен \( \sqrt{7} \).

Правильный шестиугольник \( ABCDEF \) имеет все стороны равные 1, то есть \( AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1 \).

Угол между двумя соседними сторонами равен \( 120^\circ \), поэтому угол \( \angle ABC = 120^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \). По теореме косинусов вычислим длину диагонали \( AC \):
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \).

Подставим известные значения:
\( AC^2 = 1^2 + 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = 1 + 1 — 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3 \).

Отсюда следует, что
\( AC = \sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим точку \( K \) на продолжении стороны \( AB \) так, что треугольник \( KDE \) равносторонний со стороной 1. Тогда длина отрезка \( CK \) равна сумме \( CD + DK = 1 + 1 = 2 \).

В треугольнике \( ACK \) угол \( \angle ACK = 90^\circ \), так как \( K \) построена перпендикулярно к \( AC \).

Используем теорему Пифагора для вычисления длины \( AK \):
\( AK = \sqrt{AC^2 + CK^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \).

Таким образом, отрезок \( AK \) равен \( \sqrt{7} \), что и требовалось построить.