ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 224 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Окружность разделена на пять равных дуг: \( \stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{BC} = \stackrel{\frown}{CD} = \stackrel{\frown}{DE} = \stackrel{\frown}{AE} \). Найдите: 1) \( \angle BAC \); 2) \( \angle BAD \); 3) \( \angle BAE \); 4) \( \angle CAD \); 5) \( \angle DAE \).
Окружность разделена на 5 равных дуг, значит каждая дуга равна \( \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ \).
1) \( \angle BAC = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ \)
2) \( \angle BAD = \frac{1}{2} \times (72^\circ + 72^\circ) = \frac{1}{2} \times 144^\circ = 72^\circ \)
3) \( \angle BAE = \frac{1}{2} \times (72^\circ + 72^\circ + 72^\circ) = \frac{1}{2} \times 216^\circ = 108^\circ \)
4) \( \angle CAD = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ \)
5) \( \angle DAE = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ \)
Окружность разделена на 5 равных частей, то есть на 5 дуг одинаковой длины. Полный круг равен \( 360^\circ \), поэтому длина каждой дуги будет равна \( \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ \). Это значит, что дуга между любыми двумя соседними точками на окружности равна \( 72^\circ \). Это важный момент, так как все последующие углы будут вычисляться через эти дуги.
Вписанный угол в окружности равен половине дуги, на которую он опирается. Рассмотрим угол \( \angle BAC \). Он опирается на дугу \( \stackrel{\frown}{BC} \), которая равна \( 72^\circ \). Значит, по свойству вписанного угла, \( \angle BAC = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ \). Это свойство действует для любого вписанного угла: угол равен половине дуги, которую он «видит».
Теперь рассмотрим угол \( \angle BAD \). Он опирается не на одну дугу, а на сумму двух дуг: \( \stackrel{\frown}{BC} \) и \( \stackrel{\frown}{CD} \). Каждая из них равна \( 72^\circ \), значит суммарная дуга равна \( 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ \). Тогда угол \( \angle BAD \) равен половине этой дуги, то есть \( \angle BAD = \frac{1}{2} \times 144^\circ = 72^\circ \).
Далее угол \( \angle BAE \) опирается на три дуги: \( \stackrel{\frown}{BC} \), \( \stackrel{\frown}{CD} \) и \( \stackrel{\frown}{DE} \), каждая равна \( 72^\circ \). Сумма этих дуг равна \( 72^\circ + 72^\circ + 72^\circ = 216^\circ \). Следовательно, угол \( \angle BAE = \frac{1}{2} \times 216^\circ = 108^\circ \).
Углы \( \angle CAD \) и \( \angle DAE \) опираются на одну дугу по \( 72^\circ \) каждая, поэтому \( \angle CAD = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ \) и \( \angle DAE = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ \). Все эти вычисления основаны на основном свойстве вписанных углов, что они равны половине дуги, на которую опираются.
