ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 227 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку \(A\) к окружности проведены две касательные. Расстояние от точки \(A\) до точки касания равно 12 см, а расстояние между точками касания — 14,4 см. Найдите радиус окружности.

Дано: \(AB = AC = 12\), \(BC = 14{,}4\). Найти радиус \(OB\).

По теореме косинусов в треугольнике \(ABC\):

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\),

\(14{,}4^2 = 12^2 + 12^2 — 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos \angle BAC\),

\(207{,}36 = 144 + 144 — 288 \cos \angle BAC\),

\(207{,}36 = 288 — 288 \cos \angle BAC\),

\(288 \cos \angle BAC = 288 — 207{,}36 = 80{,}64\),

\(\cos \angle BAC = \frac{80{,}64}{288} = 0{,}28\).

Угол \( \angle BOC = 180^\circ — \angle BAC\), значит

\(\cos \angle BOC = — \cos \angle BAC = -0{,}28\).

По теореме косинусов в треугольнике \(BOC\):

\(BC^2 = OB^2 + OC^2 — 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos \angle BOC\),

\(14{,}4^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot (-0{,}28)\),

\(207{,}36 = 2R^2 + 0{,}56 R^2 = 2{,}56 R^2\),

\(R^2 = \frac{207{,}36}{2{,}56} = 81\),

\(R = 9\).

Ответ: \(9\) см.

Точки \(B\) и \(C\) — точки касания касательных к окружности из точки \(A\). Известно, что \(AB = AC = 12\) см, а длина хорды \(BC = 14{,}4\) см.

Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором две стороны равны: \(AB = AC = 12\) см, а сторона \(BC = 14{,}4\) см. Нужно найти угол при вершине \(A\).

По теореме косинусов для треугольника \(ABC\):

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\).

Подставим значения:

\(14{,}4^2 = 12^2 + 12^2 — 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos \angle BAC\),

\(207{,}36 = 144 + 144 — 288 \cos \angle BAC\),

\(207{,}36 = 288 — 288 \cos \angle BAC\),

Переносим слагаемые:

\(288 \cos \angle BAC = 288 — 207{,}36 = 80{,}64\),

Тогда

\(\cos \angle BAC = \frac{80{,}64}{288} = 0{,}28\).

Поскольку \(OB\) и \(OC\) — радиусы окружности, они равны \(R\). Угол между радиусами \(OB\) и \(OC\) равен \(180^\circ — \angle BAC\).

Тогда

\(\cos \angle BOC = \cos (180^\circ — \angle BAC) = — \cos \angle BAC = -0{,}28\).

Рассмотрим треугольник \(BOC\), где известна сторона \(BC = 14{,}4\) см и углы. По теореме косинусов:

\(BC^2 = OB^2 + OC^2 — 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos \angle BOC\).

Подставим:

\(14{,}4^2 = R^2 + R^2 — 2 \cdot R \cdot R \cdot (-0{,}28)\),

\(207{,}36 = 2 R^2 + 0{,}56 R^2 = 2{,}56 R^2\),

Найдём \(R^2\):

\(R^2 = \frac{207{,}36}{2{,}56} = 81\),

Отсюда

\(R = 9\) см.

Ответ: радиус окружности равен 9 см.