ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 5 см и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен \(30^\circ\). Найдите диагональ параллелограмма, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Краткий ответ:

Высота из тупого угла равна 5, она делит сторону пополам, значит высота равна половине стороны \(a\), то есть \(a = 10\).

Тупой угол равен \(150^\circ\), острый — \(30^\circ\).

Пусть сторона \(b\) — вектор под углом \(150^\circ\), тогда \(b^2 — 20b \sqrt{3} + 300 = 0\).

Дискриминант равен 0, значит \(b = 10 \sqrt{3}\).

Диагональ \(AC = \sqrt{(-5)^2 + (5 \sqrt{3})^2} = 10\).

Угол между диагональю и стороной \(AB\):
\(\cos \theta_1 = \frac{10 \cdot (-5)}{10 \cdot 10} = -\frac{1}{2}\), значит \(\theta_1 = 120^\circ\).

Угол между диагональю и стороной \(AD\):
\(\cos \theta_2 = \frac{(-5)(-15) + (5 \sqrt{3})(5 \sqrt{3})}{10 \cdot 10 \sqrt{3}} = \frac{150}{100 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\theta_2 = 30^\circ\).

Ответ: диагональ равна 10 см, углы с сторонами — \(120^\circ\) и \(30^\circ\).

Подробный ответ:

Высота, проведённая из вершины тупого угла, равна 5 см и делит сторону параллелограмма пополам. Значит высота равна половине стороны \(a\), то есть \(a = 2 \cdot 5 = 10\) см.

Тупой угол параллелограмма равен \(150^\circ\), так как острый угол равен \(30^\circ\).

Обозначим сторону \(AB = a = 10\) см, а сторону \(AD = b\). Вектор \(AD\) направлен под углом \(150^\circ\) к стороне \(AB\).

Координаты точки \(B\) будут \((10, 0)\), а точки \(D\) — \(\left(b \cos 150^\circ, b \sin 150^\circ\right)\).

Точка \(C\) равна сумме векторов \(B + D = \left(10 + b \cos 150^\circ, b \sin 150^\circ\right)\).

Точка основания высоты \(H\) — середина стороны \(BC\), значит \(H = \left(10 + \frac{b \cos 150^\circ}{2}, \frac{b \sin 150^\circ}{2}\right)\).

Высота равна расстоянию от \(A = (0,0)\) до точки \(H\), то есть \(AH = 5\).

Вычислим длину \(AH\):
\(AH = \sqrt{\left(10 + \frac{b \cos 150^\circ}{2}\right)^2 + \left(\frac{b \sin 150^\circ}{2}\right)^2} = 5\).

Подставим значения \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\):
\(AH = \sqrt{\left(10 — \frac{b \sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{b}{4}\right)^2} = 5\).

Раскроем скобки:
\(\left(10 — \frac{b \sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{b}{4}\right)^2 = 25\).

Раскроем квадрат первого выражения:
\(100 — 2 \cdot 10 \cdot \frac{b \sqrt{3}}{4} + \frac{3 b^2}{16} + \frac{b^2}{16} = 25\).

Упростим:
\(100 — 5 b \sqrt{3} + \frac{4 b^2}{16} = 25\).

Или:
\(100 — 5 b \sqrt{3} + \frac{b^2}{4} = 25\).

Перенесём 25 влево:
\(\frac{b^2}{4} — 5 b \sqrt{3} + 75 = 0\).

Умножим на 4:
\(b^2 — 20 b \sqrt{3} + 300 = 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(\Delta = (20 \sqrt{3})^2 — 4 \cdot 1 \cdot 300 = 400 \cdot 3 — 1200 = 1200 — 1200 = 0\).

Корень уравнения:
\(b = \frac{20 \sqrt{3}}{2} = 10 \sqrt{3}\).

Найдём диагональ \(AC\):
\(AC = \sqrt{\left(10 + b \cos 150^\circ\right)^2 + \left(b \sin 150^\circ\right)^2} = \sqrt{(10 — 15)^2 + (5 \sqrt{3})^2} =\)
\(= \sqrt{(-5)^2 + (5 \sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10\).

Вычислим угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AB\):
\(\cos \theta_1 = \frac{AB \cdot AC}{|AB||AC|} = \frac{10 \cdot (-5) + 0 \cdot 5 \sqrt{3}}{10 \cdot 10} = -\frac{1}{2}\), значит \(\theta_1 = 120^\circ\).

Вычислим угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AD\):
\(\cos \theta_2 = \frac{(-5)(-15) + (5 \sqrt{3})(5 \sqrt{3})}{10 \cdot 10 \sqrt{3}} = \frac{75 + 75}{100 \sqrt{3}} = \frac{150}{100 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\theta_2 = 30^\circ\).

Ответ: диагональ равна 10 см, углы с сторонами равны \(120^\circ\) и \(30^\circ\).

Оцени решение