ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 240 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите площадь заштрихованной фигуры (рис. 58), если длина стороны клетки равна \(a\).

а) \(S = 8a \cdot 8a — 4 \cdot \pi a^{2} = 64a^{2} — 4\pi a^{2} = 4a^{2}(16 — \pi)\)

б) \(S = \pi (3a)^{2} — 4a^{2} — \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a = 9\pi a^{2} — 4a^{2} — a^{2} = a^{2}(9\pi — 5)\)

Сначала рассмотрим площадь большого квадрата. Его сторона равна \(8a\), значит площадь вычисляется как произведение длины стороны на саму себя, то есть \(8a \cdot 8a\). Это даёт нам \(64a^{2}\). Здесь \(a^{2}\) означает, что мы умножаем длину стороны клетки на саму себя, а число 64 получается из умножения 8 на 8. Таким образом, площадь всего большого квадрата равна \(64a^{2}\).

Теперь рассмотрим четыре круга, которые вырезаны из этого квадрата. Каждый круг имеет радиус \(a\), поэтому площадь одного круга равна формуле площади круга — \( \pi r^{2} \), где \(r\) — радиус. Подставляя \(r = a\), получаем площадь одного круга равной \( \pi a^{2} \). Поскольку таких кругов четыре, общая площадь всех кругов будет равна \(4 \cdot \pi a^{2} = 4\pi a^{2}\). Эта площадь вычитается из площади большого квадрата, потому что эти круги вырезаны из него.

Чтобы найти площадь оставшейся заштрихованной части, нужно из площади всего квадрата вычесть площадь всех четырёх кругов. Это даёт формулу: \(S = 64a^{2} — 4\pi a^{2}\). Вынесем общий множитель \(4a^{2}\), чтобы упростить выражение: \(S = 4a^{2}(16 — \pi)\). Таким образом, мы получили формулу для площади заштрихованной фигуры в первом случае.

—

Во втором случае сначала найдём площадь большого круга с радиусом \(3a\). По формуле площади круга \( \pi r^{2} \), подставляем \(r = 3a\) и получаем \( \pi (3a)^{2} = 9\pi a^{2} \). Это площадь всего большого круга.

Далее нужно вычесть площади четырёх маленьких квадратов, каждый из которых имеет сторону \(a\). Площадь одного квадрата равна \(a \cdot a = a^{2}\), значит площадь четырёх квадратов равна \(4a^{2}\).

Кроме того, из круга вырезан треугольник с основанием \(2a\) и высотой \(a\). Площадь треугольника вычисляется по формуле \( \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \), то есть \( \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a = a^{2} \).

Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, нужно из площади большого круга вычесть площади четырёх квадратов и треугольника. Это даёт: \(S = 9\pi a^{2} — 4a^{2} — a^{2}\). Упростим выражение, сложив вычитаемые площади: \(S = 9\pi a^{2} — 5a^{2}\). Вынесем общий множитель \(a^{2}\), получаем \(S = a^{2}(9\pi — 5)\). Это и есть площадь заштрихованной фигуры во втором случае.

Таким образом, мы подробно рассмотрели, как вычисляются площади фигур с учётом вырезанных частей, используя основные формулы для площади квадрата, круга и треугольника, и получили конечные ответы.