ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 242 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной \(a\).

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной \(a\) равен \(R = \frac{a}{2 \sin 60^\circ}\). Так как \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(R = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Длина окружности равна \(C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{3} a\).

Ответ: \(C = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{3} a\).

Окружность описана около правильного треугольника, значит радиус описанной окружности \(R\) можно найти по формуле \(R = \frac{a}{2 \sin \frac{180^\circ}{3}}\), где \(a\) — сторона треугольника.

Угол при вершине правильного треугольника равен \( \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \), тогда формула принимает вид \(R = \frac{a}{2 \sin 60^\circ}\).

Известно, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставляем это значение: \(R = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Теперь найдём длину окружности \(C\), которая равна \(C = 2 \pi R\).

Подставляем найденный радиус: \(C = 2 \pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2 \pi a}{\sqrt{3}}\).

Для удобства выражения умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(C = \frac{2 \pi a \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2 \pi a \sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(C = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{3} a\).