ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 245 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной \(a\).

Правильный шестиугольник имеет сторону \(a\). Радиус вписанной окружности равен \(R = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{6}} = \frac{a}{2 \tan 30^\circ} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Площадь круга с радиусом \(R\) равна \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{3 a^2}{4} = \frac{3 \pi a^2}{4}\).

Ответ: \(\frac{3 \pi a^2}{4}\).

Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон длиной \(a\). Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника и её радиус равен расстоянию от центра шестиугольника до любой его стороны.

Радиус вписанной окружности \(R\) в правильный многоугольник с \(n\) сторонами вычисляется по формуле \(R = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{n}}\).

Для шестиугольника \(n = 6\), тогда радиус равен \(R = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{6}} = \frac{a}{2 \tan 30^\circ}\).

Известно, что \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), значит \(R = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).

Теперь найдём площадь круга с радиусом \(R\) по формуле \(S = \pi R^2\).

Подставим найденное значение радиуса: \(S = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{3 a^2}{4}\).

Итоговая площадь круга равна \( \frac{3 \pi a^2}{4} \).