Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 245 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной \(a\).
Правильный шестиугольник имеет сторону \(a\). Радиус вписанной окружности равен \(R = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{6}} = \frac{a}{2 \tan 30^\circ} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).
Площадь круга с радиусом \(R\) равна \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{3 a^2}{4} = \frac{3 \pi a^2}{4}\).
Ответ: \(\frac{3 \pi a^2}{4}\).
Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон длиной \(a\). Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника и её радиус равен расстоянию от центра шестиугольника до любой его стороны.
Радиус вписанной окружности \(R\) в правильный многоугольник с \(n\) сторонами вычисляется по формуле \(R = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{n}}\).
Для шестиугольника \(n = 6\), тогда радиус равен \(R = \frac{a}{2 \tan \frac{180^\circ}{6}} = \frac{a}{2 \tan 30^\circ}\).
Известно, что \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), значит \(R = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).
Теперь найдём площадь круга с радиусом \(R\) по формуле \(S = \pi R^2\).
Подставим найденное значение радиуса: \(S = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{3 a^2}{4}\).
Итоговая площадь круга равна \( \frac{3 \pi a^2}{4} \).
