ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 246 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной \(a\).

В правильном треугольнике все стороны равны, и угол между ними 60 градусов. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра треугольника до стороны. Формула для радиуса: \(R = \frac{a}{2 \tan 60^\circ}\).

Так как \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), то \(R = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\).

Площадь круга считается по формуле \(S = \pi R^2\). Подставляем радиус: \(S = \pi \left(\frac{a}{2 \sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12}\).

В правильном треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60 градусам. Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника внутри. Чтобы найти площадь этой окружности, сначала нужно определить её радиус. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра треугольника до любой из его сторон. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности можно вычислить через сторону \(a\) по формуле \(R = \frac{a}{2 \tan 60^\circ}\).

Значение тангенса угла 60 градусов известно и равно \(\sqrt{3}\). Подставим это в формулу радиуса: \(R = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\). Таким образом, радиус вписанной окружности выражается через сторону треугольника очень просто, и это значение меньше, чем половина стороны, что логично, так как круг вписан внутрь треугольника.

Теперь, когда известен радиус, можно найти площадь круга по формуле \(S = \pi R^2\). Подставим радиус в формулу площади: \(S = \pi \left(\frac{a}{2 \sqrt{3}}\right)^2\). Возводя в квадрат, получаем \(S = \pi \frac{a^2}{4 \cdot 3} = \frac{\pi a^2}{12}\). Это и есть площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной \(a\).