ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 247 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\).

В прямоугольнике \(ABCD\) диагональ \(BD = \sqrt{a^2 + b^2}\). Радиус описанной окружности \(R = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\). Площадь круга \(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 + b^2}{4}\). Ответ: \(S = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}\).

В прямоугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(AD\) имеют длины \(a\) и \(b\) соответственно. Чтобы найти площадь круга, описанного около этого прямоугольника, сначала нужно понять, что описанная окружность проходит через все четыре вершины прямоугольника. Центр этой окружности — точка \(O\) — находится в середине диагонали \(BD\), так как диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Значит, радиус описанной окружности равен половине длины диагонали.

Длина диагонали \(BD\) вычисляется по теореме Пифагора, которая говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катеты — это стороны прямоугольника \(a\) и \(b\), а гипотенуза — диагональ \(BD\). Следовательно, длина диагонали равна \(BD = \sqrt{a^2 + b^2}\). Это важный шаг, так как радиус окружности напрямую зависит от этой длины.

Поскольку центр окружности — середина диагонали, радиус \(R\) равен половине диагонали, то есть \(R = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\). Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi R^2\). Подставляя радиус, получаем \(S = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2\). Возводя в квадрат, упрощаем выражение до \(S = \pi \frac{a^2 + b^2}{4}\). Таким образом, площадь круга, описанного около прямоугольника, равна \(S = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}\).