ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 248 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с боковой стороной \(b\) и углом \(\alpha\) при основании.

Дано: \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AB = BC = b \), углы при основании \( \alpha \).

Рассмотрим треугольник: радиус описанной окружности равен \( R = \frac{b}{2 \sin \alpha} \).

Площадь круга: \( S = \pi R^{2} = \pi \frac{b^{2}}{4 \sin^{2} \alpha} \).

Ответ: \( S = \frac{\pi b^{2}}{4 \sin^{2} \alpha} \).

Дано равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с боковыми сторонами \( AB = BC = b \) и углами при основании \( \angle A = \angle C = \alpha \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Известно, что радиус описанной окружности \( R \) можно найти по формуле \( R = \frac{a}{2 \sin \beta} \), где \( a \) — сторона треугольника, а \( \beta \) — угол напротив этой стороны. В нашем случае сторона \( BC = b \), а угол напротив неё — \( \angle A = \alpha \). Значит, радиус описанной окружности равен \( R = \frac{b}{2 \sin \alpha} \).

Теперь найдём площадь круга с радиусом \( R \). Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi R^{2} \). Подставим выражение для \( R \): \( S = \pi \left( \frac{b}{2 \sin \alpha} \right)^{2} \).

Раскроем скобки и возведём в квадрат: \( S = \pi \frac{b^{2}}{4 \sin^{2} \alpha} \).

Таким образом, площадь круга, описанного около данного равнобедренного треугольника, равна \( S = \frac{\pi b^{2}}{4 \sin^{2} \alpha} \).