ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 249 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника со стороной \(a\) и углом \(\alpha\) между данной стороной и диагональю прямоугольника.

В прямоугольнике ABCD диагональ BD равна \( \frac{a}{\cos \alpha} \). Радиус описанной окружности равен половине диагонали, то есть \( R = \frac{a}{2 \cos \alpha} \). Длина окружности равна \( C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot \frac{a}{2 \cos \alpha} = \frac{\pi a}{\cos \alpha} \).

В прямоугольнике ABCD длина стороны AB равна \( a \). Угол при вершине B между сторонами AB и BD равен \( \alpha \).

Диагональ BD можно найти, используя отношение стороны AB к косинусу угла \( \alpha \), так как угол \( \alpha \) прилегает к стороне AB. Тогда диагональ BD равна \( \frac{a}{\cos \alpha} \).

Центр описанной окружности \( O \) находится в середине диагонали BD, следовательно радиус окружности равен половине диагонали: \( R = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2 \cos \alpha} \).

Длина описанной окружности равна \( C = 2 \pi R \). Подставляя значение радиуса, получаем \( C = 2 \pi \cdot \frac{a}{2 \cos \alpha} \).

Сокращая двойки, окончательно получаем длину окружности \( C = \frac{\pi a}{\cos \alpha} \).