ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 252 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Длина дуги окружности радиуса 24 см равна 3\(\pi\) см. Найдите градусную меру дуги.

Дано: \(R = 24\) см, \(L = 3\pi\) см. Формула длины дуги: \(L = \frac{\pi R a}{180^\circ}\). Выразим \(a\): \(a = \frac{180^\circ \cdot L}{\pi R}\). Подставим: \(a = \frac{180^\circ \cdot 3\pi}{\pi \cdot 24} = \frac{180^\circ \cdot 3}{24} = \frac{540^\circ}{24} = 22{,}5^\circ\). Ответ: \(22{,}5^\circ\).

Длина дуги окружности — это часть длины всей окружности, которая зависит от угла, который эта дуга образует в центре окружности. Радиус окружности \(R\) — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. В нашем случае радиус равен \(24\) см. Длина дуги \(L\) дана как \(3\pi\) см. Чтобы найти градусную меру дуги \(a\), нужно понять, как связаны длина дуги, радиус и угол.

Формула для длины дуги через угол в градусах выглядит так: \(L = \frac{\pi R a}{180^\circ}\). Здесь \(180^\circ\) — это угол всей окружности в градусах, а \(a\) — искомый угол дуги. Эта формула показывает, что длина дуги пропорциональна углу, который она образует. Если угол равен \(180^\circ\), то длина дуги будет равна половине окружности, то есть \(\pi R\). Если угол меньше, длина дуги пропорционально меньше.

Чтобы найти угол \(a\), нужно преобразовать формулу, выразив \(a\) через длину дуги и радиус. Для этого умножим обе части уравнения на \(180^\circ\) и разделим на \(\pi R\): \(a = \frac{180^\circ \cdot L}{\pi R}\). Подставим известные значения: \(a = \frac{180^\circ \cdot 3\pi}{\pi \cdot 24}\). Сократив \(\pi\) в числителе и знаменателе, получаем \(a = \frac{180^\circ \cdot 3}{24}\). Умножив в числителе, получаем \(540^\circ\), теперь делим: \(a = \frac{540^\circ}{24} = 22{,}5^\circ\). Таким образом, градусная мера дуги равна \(22{,}5^\circ\).