ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 257 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь сектора равна \(\frac{5\pi}{4}\) см\(^2\), а градусная мера дуги этого сектора составляет 75\(^\circ\). Найдите радиус круга, частью которого является данный сектор.

Дано: площадь сектора \( S_c = \frac{5\pi}{4} \) см², угол \( a = 75^\circ \).

Площадь сектора равна \( S_c = \frac{a}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \).

Подставим числа: \( \frac{5\pi}{4} = \frac{75}{360} \cdot \pi R^2 \).

Сократим на \( \pi \): \( \frac{5}{4} = \frac{75}{360} R^2 \).

Упростим: \( \frac{75}{360} = \frac{5}{24} \), значит \( \frac{5}{4} = \frac{5}{24} R^2 \).

Умножим обе части на 24: \( 24 \cdot \frac{5}{4} = 5 R^2 \).

Получаем: \( 30 = 5 R^2 \).

Разделим на 5: \( R^2 = 6 \).

Тогда \( R = \sqrt{6} \) см.

Площадь сектора круга — это часть площади всего круга, которая соответствует определённому углу при центре круга. Если полный круг имеет угол в 360 градусов, то сектор с углом \( a \) занимает долю \( \frac{a}{360} \) от всей площади круга. Площадь круга вычисляется по формуле \( \pi R^{2} \), где \( R \) — радиус круга. Значит площадь сектора можно найти, умножив площадь круга на долю угла: \( S_c = \frac{a}{360} \cdot \pi R^{2} \).

В нашем случае площадь сектора задана как \( \frac{5\pi}{4} \) см², а угол сектора равен \( 75^\circ \). Подставим эти значения в формулу площади сектора: \( \frac{5\pi}{4} = \frac{75}{360} \cdot \pi R^{2} \). Чтобы упростить уравнение, можно сократить обе части на \( \pi \), так как оно не равно нулю. Получаем: \( \frac{5}{4} = \frac{75}{360} R^{2} \).

Далее упростим дробь \( \frac{75}{360} \), разделив числитель и знаменатель на 15: \( \frac{75}{360} = \frac{5}{24} \). Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{5}{4} = \frac{5}{24} R^{2} \). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 24, получим \( 24 \cdot \frac{5}{4} = 24 \cdot \frac{5}{24} R^{2} \). Левая часть равна \( 6 \cdot 5 = 30 \), правая — \( 5 R^{2} \). Значит \( 30 = 5 R^{2} \).

Чтобы найти \( R^{2} \), разделим обе части на 5: \( \frac{30}{5} = R^{2} \), то есть \( R^{2} = 6 \). Теперь найдём радиус \( R \), взяв квадратный корень из 6: \( R = \sqrt{6} \) см. Таким образом, радиус круга, к которому принадлежит данный сектор, равен \( \sqrt{6} \) сантиметров.