ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 259 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 5 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 45\(^\circ\); 2) 330\(^\circ\)

Радиус \( R = 5 \) см.

Для \( a = 45^\circ \):

\( S_c = \frac{a \pi R^2}{360} — \frac{1}{2} R^2 \sin a = \frac{45 \pi \cdot 5^2}{360} — \frac{1}{2} \cdot 5^2 \sin 45^\circ = \frac{45 \pi \cdot 25}{360} — \frac{25}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =\)
\(= \frac{25 \pi}{8} — \frac{25 \sqrt{2}}{4} = \frac{25}{8} (\pi — 2 \sqrt{2}) \) см².

Для \( a = 330^\circ \):

\( S_c = \frac{330 \pi \cdot 5^2}{360} — \frac{1}{2} \cdot 5^2 \sin 330^\circ = \frac{330 \pi \cdot 25}{360} — \frac{25}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{275 \pi}{12} + \frac{25}{4} = \)
\(=\frac{275 \pi}{12} + \frac{75}{12} = \frac{25 (11 \pi + 3)}{12} \) см².

Радиус круга \( R = 5 \) см. Формула площади сегмента круга: \( S_c = \frac{a \pi R^{2}}{360} — \frac{1}{2} R^{2} \sin a \), где \( a \) — градусная мера дуги.

Для \( a = 45^\circ \) подставим значения:

\( S_c = \frac{45 \pi \cdot 5^{2}}{360} — \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \sin 45^\circ \).

Вычислим сначала \( 5^{2} = 25 \), тогда:

\( S_c = \frac{45 \pi \cdot 25}{360} — \frac{25}{2} \sin 45^\circ \).

Известно, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит:

\( S_c = \frac{1125 \pi}{360} — \frac{25}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1125 \pi}{360} — \frac{25 \sqrt{2}}{4} \).

Сократим дробь \( \frac{1125}{360} = \frac{25}{8} \), тогда:

\( S_c = \frac{25 \pi}{8} — \frac{25 \sqrt{2}}{4} \).

Вынесем общий множитель \( \frac{25}{8} \):

\( S_c = \frac{25}{8} \left( \pi — 2 \sqrt{2} \right) \) см².

—

Для \( a = 330^\circ \) подставим значения:

\( S_c = \frac{330 \pi \cdot 5^{2}}{360} — \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \sin 330^\circ \).

Вычислим \( 5^{2} = 25 \), тогда:

\( S_c = \frac{330 \pi \cdot 25}{360} — \frac{25}{2} \sin 330^\circ \).

Известно, что \( \sin 330^\circ = \sin (360^\circ — 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \), значит:

\( S_c = \frac{8250 \pi}{360} — \frac{25}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{8250 \pi}{360} + \frac{25}{4} \).

Сократим дробь \( \frac{8250}{360} = \frac{275}{12} \), тогда:

\( S_c = \frac{275 \pi}{12} + \frac{25}{4} \).

Приведём второе слагаемое к общему знаменателю 12:

\( \frac{25}{4} = \frac{75}{12} \), значит:

\( S_c = \frac{275 \pi}{12} + \frac{75}{12} = \frac{25 (11 \pi + 3)}{12} \) см².