ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) проведена высота \(BD\), \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\), \(AB = 10\) см. Найдите сторону \(BC\).
Дано: \(BD\) — высота, \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\), \(AB = 10\) см. Найти: \(BC\).
В треугольнике \(ABD\):
\(\angle BDA = 90^\circ\),
\(\angle ABD = 90^\circ — \angle BAD = 30^\circ\),
\(AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 10 = 5\),
\(BD = \sqrt{AB^2 — AD^2} = \sqrt{10^2 — 5^2} = \sqrt{100 — 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\).
В треугольнике \(BDC\):
\(\angle BDC = 90^\circ\), \(\angle BCD = 45^\circ\),
треугольник равнобедренный, значит \(CD = BD = 5\sqrt{3}\),
\(BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{75 + 75} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}\).
Ответ: \(5\sqrt{6}\) см.
В треугольнике \(ABC\) нам даны углы при вершинах \(A\) и \(C\), а также длина стороны \(AB\). Из условия известно, что \(BD\) — высота, проведённая из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Это значит, что \(BD\) перпендикулярна \(AC\), и угол \(BDA\) равен \(90^\circ\). Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника: \(ABD\) и \(BDC\). Чтобы найти сторону \(BC\), нужно рассмотреть каждый из этих треугольников отдельно и использовать известные углы и стороны.
Рассмотрим треугольник \(ABD\). Известно, что угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\), а угол при вершине \(D\) прямой — \(90^\circ\). Следовательно, угол при вершине \(B\) в этом треугольнике равен \(180^\circ — 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\). Теперь мы знаем все углы треугольника \(ABD\), а также длину гипотенузы \(AB = 10\) см. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы. Значит, \(AD = \frac{1}{2} \times 10 = 5\) см. Чтобы найти высоту \(BD\), применим теорему Пифагора: \(BD = \sqrt{AB^2 — AD^2} = \sqrt{10^2 — 5^2} = \sqrt{100 — 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\) см.
Теперь перейдём к треугольнику \(BDC\). Поскольку \(BD\) — высота, угол при вершине \(D\) прямой, то есть \(90^\circ\). Из условия известно, что угол при вершине \(C\) равен \(45^\circ\). Следовательно, угол при вершине \(B\) равен \(180^\circ — 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Таким образом, треугольник \(BDC\) является прямоугольным и равнобедренным с углами \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\). В таком треугольнике катеты равны, значит \(CD = BD = 5\sqrt{3}\) см. Чтобы найти сторону \(BC\), нужно использовать теорему Пифагора: \(BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{75 + 75} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}\) см.
Ответ: \(5\sqrt{6}\) см.
