ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 260 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 2 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 60\(^\circ\); 2) 300\(^\circ\).

Радиус круга \(R = 2\) см.

1) \(a = 60^\circ\)

Площадь сегмента \(S_c = \frac{\pi R^2 a}{360} — \frac{1}{2} R^2 \sin a = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 60}{360} — \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{4\pi \cdot 60}{360} — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\)
\(= \frac{2\pi}{3} — \sqrt{3} = \frac{2\pi — 3\sqrt{3}}{3}\) см²

2) \(a = 300^\circ\)

Площадь сегмента \(S_c = \frac{\pi R^2 a}{360} — \frac{1}{2} R^2 \sin a = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 300}{360} — \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 300^\circ = \frac{4\pi \cdot 300}{360} — 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\)
\( = \frac{10\pi}{3} + \sqrt{3} = \frac{10\pi + 3\sqrt{3}}{3}\) см²

Рассмотрим задачу нахождения площади кругового сегмента при заданном радиусе круга и градусной мере дуги сегмента. Радиус круга равен \( R = 2 \) см. Нам необходимо найти площадь сегмента для двух случаев: когда градусная мера дуги \( a \) равна \( 60^\circ \) и \( 300^\circ \).

Площадь кругового сегмента можно вычислить по формуле:
\( S_c = \frac{\pi R^2 a}{360} — \frac{1}{2} R^2 \sin a \),
где первое слагаемое — площадь сектора круга с углом \( a \), второе — площадь треугольника, образованного радиусами и хордой сегмента. Эта формула основана на том, что площадь сегмента — это разница между площадью сектора и площадью треугольника, расположенного внутри сектора.

Для первого случая, когда \( a = 60^\circ \):

1. Подставим значения в формулу:
\[
S_c = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 60}{360} — \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 60^\circ
\]
2. Вычислим числовые значения:
\[
S_c = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 60}{360} — \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{240 \pi}{360} — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \pi}{3} — \sqrt{3}
\]
3. Таким образом, площадь сегмента при угле \( 60^\circ \) равна \( \frac{2 \pi}{3} — \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.

Для второго случая, когда \( a = 300^\circ \):

1. Подставим значения в формулу:
\[
S_c = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 300}{360} — \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 300^\circ
\]
2. Вычислим числовые значения:
\[
S_c = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 300}{360} — \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin 300^\circ = \frac{1200 \pi}{360} — 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{10 \pi}{3} + \sqrt{3}
\]
3. Здесь важно заметить, что \(\sin 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому знак минус перед синусом меняет знак второго слагаемого на плюс.

Итоговые значения площади сегментов:

Таким образом, мы получили детальные вычисления площади кругового сегмента для двух значений угла дуги, используя геометрические свойства круга и тригонометрические функции.