ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 264 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности увеличили на \(a\). Докажите, что длина окружности увеличится на величину, не зависящую от радиуса данной окружности.

Пусть радиус первой окружности \(R_1\). Тогда радиус второй окружности \(R_2 = R_1 + a\). Длина первой окружности \(C_1 = 2 \pi R_1\). Длина второй окружности \(C_2 = 2 \pi R_2 = 2 \pi (R_1 + a) = 2 \pi R_1 + 2 \pi a\). Увеличение длины окружности равно \(C_2 — C_1 = 2 \pi R_1 + 2 \pi a — 2 \pi R_1 = 2 \pi a\). Что и требовалось доказать.

Рассмотрим окружность с радиусом \(R_1\). По формуле длины окружности, которая равна произведению числа \(2\pi\) на радиус, длина этой окружности составляет \(C_1 = 2 \pi R_1\). Это означает, что если мы знаем радиус окружности, мы можем легко найти её длину, умножив радиус на \(2 \pi\). Число \( \pi \) — это постоянная величина, приблизительно равная 3.14159, и оно используется в формулах, связанных с кругами.

Теперь предположим, что радиус увеличился на некоторое значение \(a\), то есть новый радиус стал равен \(R_2 = R_1 + a\). Это значит, что к исходному радиусу добавили длину \(a\), и теперь окружность стала больше. Чтобы найти новую длину окружности, нужно подставить новый радиус в формулу длины окружности. Тогда длина новой окружности будет равна \(C_2 = 2 \pi R_2 = 2 \pi (R_1 + a)\). Раскроем скобки: \(C_2 = 2 \pi R_1 + 2 \pi a\).

Чтобы понять, насколько увеличилась длина окружности, нужно вычесть старую длину из новой: \( \Delta C = C_2 — C_1 = (2 \pi R_1 + 2 \pi a) — 2 \pi R_1\). При вычитании \(2 \pi R_1\) сокращается, и остаётся только \( \Delta C = 2 \pi a\). Это показывает, что увеличение длины окружности зависит только от приращения радиуса \(a\) и числа \(2 \pi\), но не зависит от исходного радиуса \(R_1\). Таким образом, независимо от того, какой был радиус изначально, если увеличить радиус на \(a\), длина окружности увеличится ровно на \(2 \pi a\).