ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 265 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны 50\(^\circ\) и 100\(^\circ\). Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Краткий ответ:

Дано: \(AB = 6\) см, \(\angle A = 50^\circ\), \(\angle B = 100^\circ\).

Найти \(\angle C = 180^\circ — 50^\circ — 100^\circ = 30^\circ\).

Радиус описанной окружности \(R = \frac{AB}{2 \sin \angle C} = \frac{6}{2 \sin 30^\circ} = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6\) см.

Длина окружности \(C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 6 = 12 \pi\) см.

Длина дуги \(AB = \frac{30^\circ}{360^\circ} \cdot 12 \pi = 2 \pi\) см.

Длина дуги \(BC = \frac{50^\circ}{360^\circ} \cdot 12 \pi = \frac{10 \pi}{3}\) см.

Длина дуги \(AC = \frac{100^\circ}{360^\circ} \cdot 12 \pi = \frac{20 \pi}{3}\) см.

Подробный ответ:

Дано: сторона \(AB = 6\) см, угол при вершине \(A\) равен \(50^\circ\), угол при вершине \(B\) равен \(100^\circ\).

Сначала найдем угол при вершине \(C\) в треугольнике \(ABC\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), значит \( \angle C = 180^\circ — 50^\circ — 100^\circ = 30^\circ \).

Теперь найдем радиус описанной окружности \(R\). Формула радиуса описанной окружности через сторону и синус противолежащего угла: \( R = \frac{AB}{2 \sin \angle C} \). Подставим значения: \( R = \frac{6}{2 \sin 30^\circ} = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6 \) см.

Длина полной окружности равна \( C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 6 = 12 \pi \) см.

Длины дуг на описанной окружности пропорциональны углам треугольника. Длина дуги равна доле окружности, соответствующей центральному углу.

Длина дуги \(AB\), которая противолежит углу \(C = 30^\circ\), равна \( AB = \frac{30^\circ}{360^\circ} \cdot 12 \pi = \frac{1}{12} \cdot 12 \pi = \pi \) см.

Длина дуги \(BC\), которая противолежит углу \(A = 50^\circ\), равна \( BC = \frac{50^\circ}{360^\circ} \cdot 12 \pi = \frac{50}{360} \cdot 12 \pi = \frac{5}{36} \cdot 12 \pi = \frac{5}{3} \pi = \frac{10 \pi}{3} \) см.

Длина дуги \(AC\), которая противолежит углу \(B = 100^\circ\), равна \( AC = \frac{100^\circ}{360^\circ} \cdot 12 \pi = \frac{100}{360} \cdot 12 \pi = \frac{5}{18} \cdot 12 \pi = \frac{10}{3} \pi = \frac{20 \pi}{3} \) см.

Оцени решение