ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 266 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сторона треугольника равна \(5\sqrt{3}\) см, а прилежащие к ней углы равны 35\(^\circ\) и 25\(^\circ\). Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность
Дано: \(AB = 5\sqrt{3}\), \(\angle A = 35^\circ\), \(\angle B = 25^\circ\). Найти длины дуг \(AB\), \(BC\), \(AC\).
1) \(\angle C = 180^\circ — 35^\circ — 25^\circ = 120^\circ\).
2) Радиус описанной окружности: \(R = \frac{AB}{2 \sin \angle C} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \sin 120^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\).
3) Длина окружности: \(C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 5 = 10 \pi\).
4) Длины дуг:
\(U_{AB} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 10 \pi = \frac{1}{3} \cdot 10 \pi = \frac{20 \pi}{3}\),
\(U_{BC} = \frac{35^\circ}{360^\circ} \cdot 10 \pi = \frac{35}{360} \cdot 10 \pi = \frac{35 \pi}{18}\),
\(U_{AC} = \frac{25^\circ}{360^\circ} \cdot 10 \pi = \frac{25}{360} \cdot 10 \pi = \frac{25 \pi}{18}\).
В треугольнике \(ABC\) даны сторона \(AB = 5\sqrt{3}\) см и углы при вершинах \(A = 35^\circ\), \(B = 25^\circ\). Чтобы найти длины дуг описанной окружности, сначала определим третий угол треугольника. Сумма всех углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому угол \(C\) можно вычислить по формуле \( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B \). Подставим значения: \( \angle C = 180^\circ — 35^\circ — 25^\circ = 120^\circ \). Этот угол важен, так как длина дуги окружности, соответствующая стороне \(AB\), зависит именно от него.
Следующий шаг — найти радиус описанной окружности \(R\). Сторона \(AB\) связана с радиусом и углом \(C\) через формулу \(AB = 2R \sin \angle C\). Отсюда выразим радиус: \(R = \frac{AB}{2 \sin \angle C}\). Подставим известные значения: \(R = \frac{5\sqrt{3}}{2 \sin 120^\circ}\). Чтобы вычислить \(\sin 120^\circ\), используем то, что \(120^\circ = 180^\circ — 60^\circ\), а синус угла \(180^\circ — \alpha\) равен синусу угла \(\alpha\). Значит, \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляем: \(R = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5\) см. Таким образом, радиус описанной окружности равен 5 см.
Теперь найдём длину всей окружности, используя формулу \(C = 2 \pi R\). Подставим \(R = 5\): \(C = 2 \pi \cdot 5 = 10 \pi\) см. Длина дуги окружности, соответствующая углу треугольника, вычисляется по формуле: длина дуги = \(\frac{\text{угол}}{360^\circ} \times\) длина всей окружности. Для дуги \(AB\), противоположной углу \(C = 120^\circ\), длина дуги равна \(U_{AB} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 10 \pi = \frac{1}{3} \times 10 \pi = \frac{20 \pi}{3}\) см. Аналогично для дуги \(BC\), противоположной углу \(A = 35^\circ\), длина дуги равна \(U_{BC} = \frac{35^\circ}{360^\circ} \times 10 \pi = \frac{35}{360} \times 10 \pi = \frac{35 \pi}{18}\) см. Для дуги \(AC\), противоположной углу \(B = 25^\circ\), длина дуги равна \(U_{AC} = \frac{25^\circ}{360^\circ} \times 10 \pi = \frac{25}{360} \times 10 \pi = \frac{25 \pi}{18}\) см. Эти расчёты показывают, как углы треугольника напрямую влияют на длины дуг описанной окружности.
