ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 267 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На катете AC прямоугольного треугольника ABC (\(\angle C = 90^\circ\)) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если \(\angle A = 24^\circ\), AC = 20 см.

Дано: \(AC = 20\), \(\angle A = 24^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\).

Радиус окружности \(R = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\).

Угол \(\angle COD = 2 \times \angle CAD = 2 \times 24^\circ = 48^\circ\).

Длина окружности \(C = 2 \pi R = 2 \pi \times 10 = 20 \pi\).

Длина дуги \(CD = \frac{48}{360} \times 20 \pi = \frac{8}{3} \pi\).

Ответ: \( \frac{8}{3} \pi \) см.

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, то есть \( \angle C = 90^\circ \). По условию \(AC = 20\) см, и этот отрезок является диаметром окружности. Значит радиус окружности равен половине диаметра: \(R = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\) см.

Угол при вершине \(A\) равен \(24^\circ\). Поскольку сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), а один угол прямой, то угол при вершине \(B\) равен \(90^\circ — 24^\circ = 66^\circ\).

По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит центральный угол \(COD\), соответствующий дуге \(CD\), равен удвоенному углу при вершине \(A\): \( \angle COD = 2 \times 24^\circ = 48^\circ \).

Длина полной окружности вычисляется по формуле \(C = 2 \pi R = 2 \pi \times 10 = 20 \pi\) см.

Длина дуги \(CD\), соответствующая углу \(48^\circ\), равна части длины окружности пропорциональной этому углу: \(l = \frac{48}{360} \times 20 \pi = \frac{8}{3} \pi\) см.

Ответ: \( \frac{8}{3} \pi \) см.