ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 268 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70\(^\circ\). На высоте треугольника, проведённой к основанию и равной 27 см, как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги окружности, принадлежащей треугольнику.

Дано: \( \angle A = \angle C = 70^\circ \), \( BH = 27 \) см, \( BH \) — высота, на которой построена окружность с диаметром \( BH \).

Угол при вершине \( B = 180^\circ — 70^\circ — 70^\circ = 40^\circ \).

Радиус окружности \( R = \frac{BH}{2} = \frac{27}{2} \).

Длина окружности \( C = 2 \pi R = 2 \pi \times \frac{27}{2} = 27 \pi \).

Угол дуги \( EF = 2 \times 40^\circ = 80^\circ \).

Длина дуги \( EF = \frac{80^\circ}{360^\circ} \times 27 \pi = 6 \pi \) см.

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) углы при основании равны, поэтому \( \angle A = \angle C = 70^\circ \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), значит угол при вершине \( B \) равен \( 180^\circ — 70^\circ — 70^\circ = 40^\circ \).

Высота \( BH \), проведённая к основанию \( AC \), равна 27 см. На отрезке \( BH \) построена окружность с диаметром \( BH \), значит радиус этой окружности равен половине диаметра: \( R = \frac{27}{2} = 13.5 \) см.

Длина полной окружности вычисляется по формуле \( C = 2 \pi R \). Подставляем значение радиуса: \( C = 2 \pi \times 13.5 = 27 \pi \) см.

Дуга окружности, принадлежащая треугольнику, соответствует центральному углу, который вдвое больше угла при вершине \( B \) по свойству вписанного угла. Значит центральный угол равен \( 2 \times 40^\circ = 80^\circ \).

Длина дуги вычисляется пропорционально углу: \( l = \frac{80^\circ}{360^\circ} \times 27 \pi = 6 \pi \) см.