ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 269 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок AB разбили на \(n\) отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это действие повторили, разбив данный отрезок на \(m\) отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях.

Пусть отрезок \(AB\) разбит на \(n\) частей с длинами \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Длина полуокружности на каждом отрезке равна \( \frac{\pi a_i}{2} \). Тогда сумма длин полуокружностей равна \( S_n = \frac{\pi}{2} (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \).

Аналогично, если отрезок \(AB\) разбит на \(m\) частей с длинами \(b_1, b_2, \ldots, b_m\), сумма длин полуокружностей будет \( S_m = \frac{\pi}{2} (b_1 + b_2 + \ldots + b_m) \).

Поскольку сумма частей равна длине отрезка \(AB\), то \( a_1 + a_2 + \ldots + a_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_m = AB \).

Отношение сумм длин полуокружностей равно \( \frac{S_n}{S_m} = \frac{\frac{\pi}{2} AB}{\frac{\pi}{2} AB} = 1 \).

Ответ: 1 : 1.

Рассмотрим отрезок \(AB\), который разбит на несколько частей. Пусть первая разбивка состоит из \(n\) частей с длинами \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Каждая часть является диаметром для полуокружности, построенной на этой части. Напомним, что длина окружности равна \(2 \pi r\), где \(r\) — радиус. Поскольку диаметр равен \(a_i\), радиус будет равен \( \frac{a_i}{2} \). Тогда длина полной окружности с диаметром \(a_i\) равна \( \pi a_i \). Полуокружность — это половина окружности, значит её длина равна \( \frac{\pi a_i}{2} \).

Теперь найдём сумму длин всех полуокружностей, построенных на отрезках \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Для этого надо сложить длины всех полуокружностей: \( S_n = \frac{\pi a_1}{2} + \frac{\pi a_2}{2} + \ldots + \frac{\pi a_n}{2} \). Вынесем общий множитель \( \frac{\pi}{2} \) за скобки: \( S_n = \frac{\pi}{2} (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \).

Аналогично рассмотрим вторую разбивку отрезка \(AB\) на \(m\) частей с длинами \(b_1, b_2, \ldots, b_m\). Сумма длин полуокружностей на этих частях будет \( S_m = \frac{\pi}{2} (b_1 + b_2 + \ldots + b_m) \).

Так как обе разбивки сделаны на одном и том же отрезке \(AB\), сумма длин частей в каждой разбивке равна длине \(AB\), то есть \( a_1 + a_2 + \ldots + a_n = AB \) и \( b_1 + b_2 + \ldots + b_m = AB \).

Подставим это в выражения для сумм длин полуокружностей: \( S_n = \frac{\pi}{2} AB \) и \( S_m = \frac{\pi}{2} AB \).

Теперь найдём отношение сумм длин полуокружностей: \( \frac{S_n}{S_m} = \frac{\frac{\pi}{2} AB}{\frac{\pi}{2} AB} = 1 \).

Таким образом, отношение сумм длин полуокружностей, построенных на разных разбивках одного и того же отрезка, равно 1.

Ответ: 1 : 1.