ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 27 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите высоту \(BD\) треугольника \(ABC\) и проекцию стороны \(AB\) на прямую \(AC\), если \(\angle BAC = 150^\circ\), \(AB = 12\) см.
Дано: \( \angle BAC = 150^\circ \), \( AB = 12 \) см, \( BD \) — высота.
В треугольнике \( ABC \): \( \angle BAD = 180^\circ — 150^\circ = 30^\circ \).
В прямоугольном треугольнике \( ABD \): \( \angle BDA = 90^\circ \), \( \angle BAD = 30^\circ \).
\( BD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \) см.
\( AD = \sqrt{AB^2 — BD^2} = \sqrt{12^2 — 6^2} = \sqrt{144 — 36} = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3} \) см.
Ответ: \( BD = 6 \) см, \( AD = 6 \sqrt{3} \) см.
В треугольнике \( ABC \) угол при вершине \( A \) равен \( 150^\circ \), то есть \( \angle BAC = 150^\circ \). Известно, что \( AB = 12 \) см.
Точка \( D \) — основание высоты, опущенной из вершины \( B \) на сторону \( AC \), значит \( BD \perp AC \).
Рассмотрим треугольник \( ABD \). Поскольку \( BD \) — высота, угол \( \angle BDA = 90^\circ \).
Угол \( \angle BAD \) можно найти как разность между \( 180^\circ \) и \( \angle BAC \), так как \( D \) лежит на стороне \( AC \):
\( \angle BAD = 180^\circ — 150^\circ = 30^\circ \).
В прямоугольном треугольнике \( ABD \) угол при \( D \) равен \( 90^\circ \), а угол при \( A \) равен \( 30^\circ \).
В таком треугольнике сторона, противоположная углу \( 30^\circ \), равна половине гипотенузы. Гипотенуза — это \( AB = 12 \) см.
Значит высота \( BD = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \) см.
Для нахождения \( AD \) используем теорему Пифагора:
\( AD = \sqrt{AB^2 — BD^2} = \sqrt{12^2 — 6^2} = \sqrt{144 — 36} = \sqrt{108} \).
Корень из \( 108 \) можно упростить:
\( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6 \sqrt{3} \).
Итог:
\( BD = 6 \) см, \( AD = 6 \sqrt{3} \) см.
