ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 270 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 59), равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах как на диаметрах.

Дано: угол \( \angle ACB = 90^\circ \). Нужно доказать, что \( S_{AC} + S_{BC} = S_{AB} \).

В треугольнике \( \triangle ABC \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Площадь полукруга на диаметре \( d \) равна \( \frac{1}{2} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8} \).

Тогда площади полукругов на катетах:
\( S_{AC} = \frac{\pi AC^2}{8} \),
\( S_{BC} = \frac{\pi BC^2}{8} \).

Площадь полукруга на гипотенузе:
\( S_{AB} = \frac{\pi AB^2}{8} \).

Складываем площади полукругов на катетах:
\( S_{AC} + S_{BC} = \frac{\pi AC^2}{8} + \frac{\pi BC^2}{8} = \frac{\pi}{8} (AC^2 + BC^2) \).

По теореме Пифагора:
\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \), значит
\( S_{AC} + S_{BC} = \frac{\pi}{8} AB^2 = S_{AB} \).

Что и требовалось доказать.

В треугольнике \( \triangle ABC \) дан прямой угол \( \angle ACB = 90^\circ \). Это значит, что по теореме Пифагора выполняется равенство \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Рассмотрим полукруги, построенные на сторонах треугольника в качестве диаметров. Площадь полукруга с диаметром \( d \) вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \). Упростим эту формулу:
\( S = \frac{1}{2} \pi \frac{d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{8} \).

Теперь найдем площади полукругов, построенных на катетах \( AC \) и \( BC \). Для катета \( AC \) площадь полукруга равна
\( S_{AC} = \frac{\pi AC^2}{8} \),
а для катета \( BC \) площадь полукруга равна
\( S_{BC} = \frac{\pi BC^2}{8} \).

Площадь полукруга, построенного на гипотенузе \( AB \), равна
\( S_{AB} = \frac{\pi AB^2}{8} \).

Сложим площади полукругов на катетах:
\( S_{AC} + S_{BC} = \frac{\pi AC^2}{8} + \frac{\pi BC^2}{8} = \frac{\pi}{8} (AC^2 + BC^2) \).

Используя теорему Пифагора, подставим \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \) в полученное выражение:
\( S_{AC} + S_{BC} = \frac{\pi}{8} AB^2 \).

Таким образом,
\( S_{AC} + S_{BC} = S_{AB} \), что и требовалось доказать.