ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 271 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две водопроводные трубы, диаметры которых равны 30 см и 40 см, надо заменить одной трубой с такой же пропускной способностью (пропускная способность водопроводной трубы — это масса воды, которая проходит через поперечное сечение трубы за единицу времени). Каким должен быть диаметр этой трубы?

Даны диаметры труб \( d_1 = 30 \) см и \( d_2 = 40 \) см. Площадь сечения первой трубы \( S_1 = \pi \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi \). Площадь сечения второй трубы \( S_2 = \pi \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = \pi \cdot 20^2 = 400\pi \). Общая площадь \( S = S_1 + S_2 = 225\pi + 400\pi = 625\pi \). Площадь сечения новой трубы \( S = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = 625\pi \). Значит \( \left( \frac{d}{2} \right)^2 = 625 \), откуда \( \frac{d^2}{4} = 625 \), \( d^2 = 2500 \), \( d = \sqrt{2500} = 50 \) см. Ответ: 50 см.

Диаметр первой трубы равен \( d_1 = 30 \) см. Радиус этой трубы будет \( r_1 = \frac{d_1}{2} = 15 \) см. Площадь поперечного сечения первой трубы вычисляем по формуле площади круга: \( S_1 = \pi r_1^{2} = \pi \cdot 15^{2} = 225\pi \).

Диаметр второй трубы равен \( d_2 = 40 \) см. Радиус второй трубы \( r_2 = \frac{d_2}{2} = 20 \) см. Площадь поперечного сечения второй трубы: \( S_2 = \pi r_2^{2} = \pi \cdot 20^{2} = 400\pi \).

Чтобы найти площадь сечения трубы, которая заменит две первые, нужно сложить площади первых двух труб: \( S = S_1 + S_2 = 225\pi + 400\pi = 625\pi \).

Пусть диаметр искомой трубы равен \( d \), тогда её радиус \( r = \frac{d}{2} \). Площадь сечения новой трубы равна \( S = \pi r^{2} = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^{2} = \frac{\pi d^{2}}{4} \).

Приравниваем площади: \( \frac{\pi d^{2}}{4} = 625\pi \). Делим обе части на \( \pi \): \( \frac{d^{2}}{4} = 625 \).

Умножаем обе части на 4: \( d^{2} = 625 \cdot 4 = 2500 \).

Извлекаем корень квадратный: \( d = \sqrt{2500} = 50 \) см.

Ответ: диаметр трубы, заменяющей две первые, равен 50 см.