ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 273 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В круг вписан квадрат со стороной \(a\). Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона квадрата.
Дано: квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\), описанная окружность с центром \(O\).
Диагональ квадрата \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
Радиус окружности \(R = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).
Угол \( \angle AOB = 90^\circ \).
Площадь сектора \(AOB = \frac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \frac{\pi R^2}{4} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{\pi a^2}{8}\).
Площадь треугольника \(AOB = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}\).
Площадь сегмента \(S_{AB} = S_{\text{сектор}} — S_{\triangle AOB} = \frac{\pi a^2}{8} — \frac{a^2}{4} = \frac{a^2(\pi — 2)}{8}\).
Квадрат \(ABCD\) имеет сторону \(a\). Диагональ квадрата равна \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}\).
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности, значит радиус окружности равен \(R = \frac{AC}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\).
Угол при центре окружности, который опирается на сторону \(AB\), равен \(90^\circ\), так как стороны квадрата перпендикулярны.
Площадь сектора окружности с углом \(90^\circ\) и радиусом \(R\) вычисляется по формуле \(S_{\text{сектор}} = \frac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \frac{\pi R^2}{4}\).
Подставляем радиус \(R = \frac{a}{\sqrt{2}}\), получаем \(S_{\text{сектор}} = \frac{\pi}{4} \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{\pi a^2}{8}\).
Треугольник \(AOB\) равнобедренный с углом \(90^\circ\) и сторонами \(OA = OB = R\), его площадь равна \(S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}\).
Площадь сегмента, ограниченного дугой \(AB\), равна разности площади сектора и площади треугольника: \(S_{\text{сегмент}} = S_{\text{сектор}} — S_{\triangle AOB} = \frac{\pi a^2}{8} — \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{8} (\pi — 2)\).
