ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 274 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Из листа жести, имеющего форму круга, вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести пошло в отходы?
Дано правильный шестиугольник \( ABCDEF \), вписанный в окружность с центром \( O \). Нужно найти, сколько процентов жести пошло в отходы после вырезания шестиугольника из круга.
Угол при центре для одного треугольника \( \triangle AOB \): \( \angle AOB = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \).
Радиус окружности равен стороне шестиугольника: \( OA = AB \).
Площадь треугольника \( \triangle AOB \) равна \( S_{AOB} = \frac{1}{2} AB^2 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} AB^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} \).
Площадь шестиугольника: \( S_{ABCDEF} = 6 \times S_{AOB} = 6 \times \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} AB^2 \).
Площадь круга: \( S_{\text{окр}} = \pi R^2 = \pi AB^2 \).
Процент отходов: \( \frac{S_{\text{окр}} — S_{ABCDEF}}{S_{\text{окр}}} = 1 — \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi} \approx 1 — 0.8267 = 0.1733 = 17.3\% \).
Правильный шестиугольник \( ABCDEF \) вписан в окружность с центром \( O \). Радиус окружности равен стороне шестиугольника, то есть \( OA = AB \).
Центральный угол между соседними вершинами шестиугольника равен \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \).
Шестиугольник можно разбить на 6 равных треугольников \( \triangle AOB \), каждый с углом при вершине \( O \) равным \( 60^\circ \).
Площадь одного такого треугольника равна \( S_{AOB} = \frac{1}{2} AB^2 \sin 60^\circ \).
Так как \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем \( S_{AOB} = \frac{1}{2} AB^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} \).
Площадь всего шестиугольника равна сумме площадей шести таких треугольников, то есть \( S_{ABCDEF} = 6 \times \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} AB^2 \).
Площадь круга с радиусом \( R = AB \) равна \( S_{\text{окр}} = \pi R^2 = \pi AB^2 \).
Процент отходов — это отношение площади круга, не занятой шестиугольником, к площади круга, умноженное на 100%. То есть
\( \frac{S_{\text{окр}} — S_{ABCDEF}}{S_{\text{окр}}} \times 100\% = \left(1 — \frac{S_{ABCDEF}}{S_{\text{окр}}}\right) \times 100\% = \left(1 — \frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2} AB^2}{\pi AB^2}\right) \times 100\% \).
Сокращая \( AB^2 \), получаем
\( \left(1 — \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi}\right) \times 100\% \).
Вычисляем численно:
\( \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi} \approx \frac{3 \times 1.732}{2 \times 3.1416} = \frac{5.196}{6.2832} \approx 0.8267 \).
Тогда процент отходов равен
\( (1 — 0.8267) \times 100\% = 0.1733 \times 100\% = 17.33\% \).
Ответ: 17.3% жести пошло в отходы.
