ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 275 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В круг вписан правильный треугольник со стороной \(a\). Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона треугольника.
Дано: треугольник \( \triangle ABC \) правильный, сторона \( a \), центр окружности \( O \).
Радиус описанной окружности \( R = \frac{a}{2 \sin 60^\circ} = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
Угол в центре \( \angle BOC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \).
Площадь сектора \( BOC = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{9} \).
Площадь треугольника \( BOC = \frac{1}{2} R^2 \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{12} \).
Площадь меньшего сегмента \( BC = \frac{\pi a^2}{9} — \frac{a^2 \sqrt{3}}{12} = \frac{a^2}{36} (4\pi — 3\sqrt{3}) \).
Ответ: \( \frac{a^2 (4\pi — 3\sqrt{3})}{36} \).
Правильный треугольник \( \triangle ABC \) имеет все стороны равные, то есть \( AB = BC = CA = a \). Все углы в таком треугольнике равны \( 60^\circ \).
Радиус описанной окружности \( R \) можно найти по формуле \( R = \frac{a}{2 \sin 60^\circ} \). Так как \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( R = \frac{a}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
Угол в центре окружности, который соответствует стороне \( BC \), равен удвоенному углу при вершине \( A \) треугольника, то есть \( \angle BOC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \).
Площадь сектора окружности с радиусом \( R \) и углом \( 120^\circ \) равна \( S_{sector} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{9} \).
Площадь треугольника \( BOC \) можно найти по формуле \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin 120^\circ \). Подставляя значения, получаем \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{12} \).
Площадь меньшего сегмента, ограниченного стороной \( BC \) и дугой окружности, равна разности площади сектора и площади треугольника: \( S_{segment} = S_{sector} — S_{\triangle} = \frac{\pi a^2}{9} — \frac{a^2 \sqrt{3}}{12} \).
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{\pi a^2}{9} = \frac{4 \pi a^2}{36} \), \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{12} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{36} \). Тогда
\( S_{segment} = \frac{4 \pi a^2}{36} — \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{36} = \frac{a^2}{36} (4 \pi — 3 \sqrt{3}) \).
Ответ: \( \frac{a^2 (4 \pi — 3 \sqrt{3})}{36} \).
