ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 276 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В круговой сектор, радиус которого равен \(R\), а центральный угол составляет 60\(^\circ\), вписан круг. Найдите площадь этого круга.

Дано: радиус \( R \), угол \( 60^\circ \).

Треугольник \( \triangle AOB \) равносторонний, значит \( AB = R \).

Вписанный круг касается стороны \( AB \), радиус круга \( r = OH \).

В равностороннем треугольнике высота и биссектриса \( OH = \frac{R}{\sqrt{3}} \).

Радиус вписанного круга \( r = \frac{1}{3} R \).

Площадь вписанного круга \( S = \pi r^{2} = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^{2} = \frac{\pi R^{2}}{9} \).

Ответ: \( \frac{\pi R^{2}}{9} \).

В круге с центром \( O \) и радиусом \( R \) рассматриваем сектор с центральным углом \( 60^\circ \). Этот сектор образует равносторонний треугольник \( \triangle AOB \), так как стороны \( OA \) и \( OB \) равны радиусу \( R \), а угол между ними \( 60^\circ \).

Сторона \( AB \) равна стороне равностороннего треугольника, то есть \( AB = R \). В треугольнике \( \triangle AOB \) высота, медиана и биссектриса совпадают, обозначим эту высоту как \( OH \).

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле \( OH = \frac{\sqrt{3}}{2} R \). Точка \( H \) — основание высоты на стороне \( AB \).

Вписанный в сектор круг касается стороны \( AB \) и двух радиусов, поэтому его центр \( E \) лежит на высоте \( OH \), а радиус вписанного круга равен расстоянию от центра \( E \) до стороны \( AB \), то есть \( r = OE — OH \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle OHE \), где \( OE = r \) — радиус вписанного круга, а \( OH = \frac{\sqrt{3}}{2} R \). Из геометрии сектора известно, что \( r = \frac{R}{3} \).

Площадь вписанного круга вычисляем по формуле \( S = \pi r^{2} \), подставляя \( r = \frac{R}{3} \), получаем \( S = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^{2} = \frac{\pi R^{2}}{9} \).

Ответ: \( \frac{\pi R^{2}}{9} \).