ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 277 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите площадь розетки (заштрихованной фигуры), изображённой на рисунке 60, если сторона квадрата ABCD равна \(a\).

Краткий ответ:

Дано: квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = a\). Нужно найти площадь розетки \(8S_{BF}\).

В квадрате диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(F\). Точка \(E\) лежит на стороне \(AB\), и \(EF\) перпендикулярна \(AB\). Тогда \(AE = BE = EF = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}\).

Площадь треугольника \(BEF\) равна \(S_{BEF} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot EF = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}\).

Площадь сектора окружности с центром в \(E\) и радиусом \(R = \frac{a}{2}\) равна \(S_{BEF} = \frac{\pi R^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot 90}{360} = \frac{\pi a^2}{16}\).

Площадь сегмента \(S_{BF} = \frac{\pi a^2}{16} — \frac{a^2}{8} = \frac{a^2(\pi — 2)}{16}\).

Площадь розетки из 8 таких сегментов: \(8 S_{BF} = 8 \cdot \frac{a^2(\pi — 2)}{16} = a^2 \frac{\pi — 2}{2} = a^2 \left(\frac{\pi}{2} — 1\right)\).

Подробный ответ:

Рассмотрим квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = a\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(F\). Точка \(E\) лежит на стороне \(AB\), при этом отрезок \(EF\) перпендикулярен \(AB\).

Поскольку \(E\) — середина стороны \(AB\), то \(AE = BE = \frac{a}{2}\). Также \(EF = \frac{a}{2}\), так как диагонали квадрата равны и точка пересечения делит их пополам.

Рассмотрим треугольник \(BEF\). Его площадь равна половине произведения катетов, так как угол между ними прямой: \(S_{BEF} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot EF = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}\).

Теперь рассмотрим круг с центром в точке \(E\) и радиусом \(R = \frac{a}{2}\). Площадь полного круга равна \(\pi R^{2} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = \frac{\pi a^{2}}{4}\).

Площадь сектора круга с центральным углом \(90^\circ\) равна четверти площади круга: \(S_{\text{сектор}} = \frac{90}{360} \cdot \frac{\pi a^{2}}{4} = \frac{\pi a^{2}}{16}\).

Площадь сегмента, ограниченного дугой и хордой \(BF\), равна разности площади сектора и площади треугольника \(BEF\): \(S_{BF} = \frac{\pi a^{2}}{16} — \frac{a^{2}}{8} = \frac{a^{2}(\pi — 2)}{16}\).

Площадь розетки, состоящей из восьми таких сегментов, равна \(8 S_{BF} = 8 \cdot \frac{a^{2}(\pi — 2)}{16} = a^{2} \cdot \frac{\pi — 2}{2} = a^{2} \left(\frac{\pi}{2} — 1\right)\).

Оцени решение