ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 278 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При построении четырёх дуг с центрами в вершинах квадрата ABCD и радиусами, равными стороне \(a\) квадрата, образовалась фигура, ограниченная красной линией (рис. 61). Найдите длину этой линии.

Дано: квадрат ABCD со стороной \(a\). Построены четыре дуги с центрами в вершинах квадрата и радиусом \(a\).

Рассмотрим треугольник AND, он равносторонний, значит углы по 60°. В квадрате угол BAN равен \(90^\circ — 30^\circ = 60^\circ\). Угол DAK равен 30°. Тогда угол NAK равен \(90^\circ — 30^\circ — 30^\circ = 30^\circ\).

Длина одной дуги \(L_{NK} = \frac{30^\circ}{180^\circ} \pi a = \frac{\pi a}{6}\).

Всего дуг 4, значит длина красной линии равна \(P_{MNKP} = 4 \cdot L_{NK} = 4 \cdot \frac{\pi a}{6} = \frac{2 \pi a}{3}\).

Квадрат ABCD имеет сторону длиной \(a\). В вершинах квадрата построены окружности с радиусом \(a\). Каждая дуга является частью окружности с центром в одной из вершин квадрата.

Рассмотрим одну из дуг, например дугу с центром в вершине A. Эта дуга ограничена точками N и K, которые лежат на сторонах квадрата.

В треугольнике AND все стороны равны \(a\), значит он равносторонний, а все углы равны \(60^\circ\).

Угол BAN равен \(90^\circ — 30^\circ = 60^\circ\), так как угол при вершине квадрата равен \(90^\circ\), а угол между радиусом и стороной 30°.

Угол DAK равен \(30^\circ\), так как радиус и сторона квадрата образуют этот угол.

Следовательно, угол NAK равен \(90^\circ — 30^\circ — 30^\circ = 30^\circ\).

Длина дуги NK вычисляется по формуле длины дуги окружности: \(L_{NK} = \frac{\text{угол в градусах}}{180^\circ} \pi R\), где \(R = a\).

Подставляем: \(L_{NK} = \frac{30^\circ}{180^\circ} \pi a = \frac{\pi a}{6}\).

Всего таких дуг четыре, по одной в каждой вершине квадрата.

Общая длина красной линии равна сумме длин всех четырёх дуг: \(P_{MNKP} = 4 \cdot L_{NK} = 4 \cdot \frac{\pi a}{6} = \frac{2 \pi a}{3}\).