ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 279 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
(Задача Гиппократа.) Около прямоугольника описали окружность и на каждой его стороне как на диаметре построили полуокружность (рис. 62*). Докажите, что сумма площадей закрашенных фигур равна площади прямоугольника.
В прямоугольнике \( ABCD \) \( AB = CD \), \( BC = AD \). По теореме Пифагора \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
Окружность с центром \( O \) и радиусом \( \frac{AC}{2} \) имеет площадь \( S_{okr} = \pi \frac{AC^2}{4} \).
Площадь полуокружности на стороне \( AB \) равна \( \frac{\pi AB^2}{8} \), на стороне \( BC \) — \( \frac{\pi BC^2}{8} \). Аналогично для сторон \( CD \) и \( DA \).
Сумма площадей всех полуокружностей:
\( S_{zakr} = \frac{\pi AB^2}{4} + \frac{\pi BC^2}{4} = \frac{\pi (AB^2 + BC^2)}{4} = \frac{\pi AC^2}{4} \).
Так как \( S_{okr} = \frac{\pi AC^2}{4} \), то
\( S_{okr} = S_{zakr} + S_{nezakr} \), где \( S_{nezakr} \) — незакрашенная часть.
Отсюда \( S_{nezakr} = S_{okr} — S_{zakr} = 0 \), значит
\( S_{zakr} = S_{ABCD} \).
Что и требовалось доказать.
Пусть \( ABCD \) — прямоугольник с длинами сторон \( AB = a \) и \( BC = b \). Тогда площадь прямоугольника равна \( S_{ABCD} = a \times b \).
Диагональ прямоугольника \( AC \) по теореме Пифагора равна \( AC = \sqrt{a^2 + b^2} \). Центр описанной окружности \( O \) — середина диагонали \( AC \), радиус окружности равен \( R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \).
Площадь описанной окружности равна \( S_{okr} = \pi R^2 = \pi \frac{a^2 + b^2}{4} \).
На каждой стороне прямоугольника построена полуокружность с диаметром, равным длине стороны. Площадь полуокружности с диаметром \( d \) равна половине площади окружности с радиусом \( \frac{d}{2} \), то есть
\( S_{полуокр} = \frac{\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2}{2} = \frac{\pi d^2}{8} \).
Для стороны \( AB = a \) площадь полуокружности равна \( \frac{\pi a^2}{8} \), для стороны \( BC = b \) — \( \frac{\pi b^2}{8} \). Аналогично для сторон \( CD = a \) и \( DA = b \).
Суммарная площадь всех четырёх полуокружностей равна
\( S_{закр} = 2 \times \frac{\pi a^2}{8} + 2 \times \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4} \).
Таким образом, сумма площадей полуокружностей равна площади описанной окружности: \( S_{закр} = S_{okr} \).
Площадь описанной окружности состоит из двух частей: площади закрашенных полуокружностей \( S_{закр} \) и незакрашенной части \( S_{незакр} \), то есть
\( S_{okr} = S_{закр} + S_{незакр} \).
Из равенства \( S_{закр} = S_{okr} \) следует, что \( S_{незакр} = 0 \).
Поскольку площадь описанной окружности равна \( \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4} \), а сумма площадей полуокружностей совпадает с ней, то площадь закрашенной фигуры равна площади прямоугольника \( ABCD \), то есть
\( S_{закр} = a \times b = S_{ABCD} \).
Это и требовалось доказать.
