ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 28 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите неизвестную сторону треугольника \(ABC\), если:

1) \(AB = 5\) см, \(BC = 8\) см, \(\angle B = 60^\circ\);

2) \(AB = 3\) см, \(AC = 2\sqrt{2}\) см, \(\angle A = 135^\circ\).

Краткий ответ:

1) По теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\)
\(AC^2 = 5^2 + 8^2 — 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 64 — 80 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 64 — 40 = 49\)
\(AC = \sqrt{49} = 7\) см

2) По теореме косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\)
\(BC^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ = 9 + 8 — 12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(BC^2 = 17 + 12\)
\(BC = \sqrt{29}\) см

Подробный ответ:

В первом треугольнике нам даны две стороны: \(AB = 5\) см и \(BC = 8\) см, а также угол между ними \(\angle B = 60^\circ\). Чтобы найти длину третьей стороны \(AC\), мы используем теорему косинусов. Эта теорема позволяет вычислить сторону треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними. Формула теоремы косинусов звучит так: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Здесь важно помнить, что косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, но в общем случае мы просто подставляем значение косинуса данного угла.

Подставим известные значения в формулу: \(AC^2 = 5^2 + 8^2 — 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ\). Сначала возьмём квадраты сторон: \(5^2 = 25\), \(8^2 = 64\). Следующий шаг — вычислить косинус угла 60 градусов. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Теперь произведём умножение: \(2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40\). Тогда формула принимает вид: \(AC^2 = 25 + 64 — 40 = 49\). Чтобы найти длину стороны \(AC\), нужно извлечь квадратный корень из 49: \(AC = \sqrt{49} = 7\) см.

—

Во втором треугольнике даны стороны \(AB = 3\) см, \(AC = 2\sqrt{2}\) см и угол \(\angle A = 135^\circ\). Нам нужно найти сторону \(BC\). Снова применяем теорему косинусов, которая для этой задачи записывается так: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\). Сначала вычислим квадраты сторон: \(3^2 = 9\), а \( (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\). Теперь нужно найти значение \(\cos 135^\circ\). Угол 135 градусов — это угол вторая четверти, и его косинус отрицателен. В частности, \(\cos 135^\circ = \cos (180^\circ — 45^\circ) = -\cos 45^\circ\). Известно, что \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), значит \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставим всё в формулу: \(BC^2 = 9 + 8 — 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Упростим коэффициенты: \(2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\). Теперь перемножим \(12\sqrt{2}\) и \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -12 \cdot \frac{2}{2} = -12\). Но в формуле стоит минус перед этим произведением, значит:
\(- 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ = — 12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = +12\).

\(BC^2 = 9 + 8 + 12 = 29\). Чтобы найти \(BC\), извлечём квадратный корень: \(BC = \sqrt{29}\) см.

Оцени решение