ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 280 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Два квадрата со сторонами 1 см имеют общий центр (рис. 63). Докажите, что площадь их общей части больше, чем \(\frac{\pi}{4}\).

Даны два квадрата со стороной \(a=1\) см, имеющие общий центр. В них вписана одна окружность с радиусом \(r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}\) см.

Площадь этой окружности равна \(S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}\) см².

Эта окружность лежит внутри обоих квадратов, значит площадь их общей части не меньше площади окружности, то есть больше или равна \(\frac{\pi}{4}\).

Что и требовалось доказать.

Два квадрата со стороной \(a = 1\) см имеют общий центр, значит они наложены друг на друга так, что их центры совпадают.

В каждом квадрате можно вписать окружность, которая касается всех четырёх сторон квадрата. Радиус такой окружности равен половине стороны квадрата, то есть \(r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}\) см.

Площадь этой окружности вычисляется по формуле \(S = \pi r^{2}\). Подставляя значение радиуса, получаем \(S = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\pi}{4}\) см².

Поскольку оба квадрата имеют общий центр, вписанная окружность будет лежать внутри каждого из них, следовательно, она принадлежит их пересечению.

Это значит, что площадь пересечения квадратов не меньше площади вписанной окружности, то есть \(S_{\text{пересечения}} \geq \frac{\pi}{4}\).

Таким образом, площадь общей части двух квадратов со стороной 1 см и общим центром больше или равна \(\frac{\pi}{4}\).