ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 282 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса угла А прямоугольника ABCD делит его сторону ВС на отрезки ВМ и МС длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?

Дано: прямоугольник ABCD, \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\), \(BM = 10\), \(MC = 14\), \(BC = BM + MC = 24\).

В прямоугольнике \(ABCD\): \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), \(AD = BC = 24\).

В треугольнике \(ABM\): \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle A = 45^\circ\), значит \(AB = BM = 10\).

Диагональ \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\).

Треугольники \(BEM\) и \(DEA\) подобны, поэтому \(\frac{DE}{AD} = \frac{BE}{BM}\), откуда \(DE = \frac{24}{10} BE = \frac{12}{5} BE\).

Так как \(BD = BE + DE\), то \(26 = BE + \frac{12}{5} BE = \frac{17}{5} BE\), откуда \(BE = \frac{26 \times 5}{17} = \frac{130}{17}\).

Тогда \(DE = \frac{12}{5} \times \frac{130}{17} = \frac{312}{17}\).

Ответ: \(BE = \frac{130}{17}\) см, \(DE = \frac{312}{17}\) см.

В прямоугольнике \(ABCD\) углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны \(90^\circ\). По условию \(BM = 10\) см, \(MC = 14\) см, значит длина стороны \(BC = BM + MC = 24\) см.

Поскольку \(ABCD\) прямоугольник, то противоположные стороны равны, следовательно, \(AD = BC = 24\) см. Угол \(BAD\) равен \(90^\circ\), а \(AM\) — биссектриса этого угла, значит она делит угол \(BAD\) пополам, и угол \(BAM = 45^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(ABM\). Угол \(B\) прямой, угол \(A\) равен \(45^\circ\), значит угол \(M\) тоже равен \(45^\circ\), так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABM\) равнобедренный с катетами \(AB\) и \(BM\), значит \(AB = BM = 10\) см.

Теперь найдём длину диагонали \(BD\). В прямоугольнике \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\) см.

Обозначим точку пересечения биссектрисы \(AM\) с диагональю \(BD\) за \(E\). Рассмотрим треугольники \(BEM\) и \(DEA\). У них равны углы: \(\angle BME = \angle DAE = 45^\circ\), \(\angle BEM = \angle DEA\) — вертикальные углы, значит треугольники подобны по двум углам.

Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны: \(\frac{DE}{AD} = \frac{BE}{BM}\). Подставим известные длины: \(AD = 24\), \(BM = 10\), тогда \(DE = \frac{24}{10} BE = \frac{12}{5} BE\).

Диагональ \(BD\) состоит из отрезков \(BE\) и \(DE\), значит \(BD = BE + DE\). Подставим выражение для \(DE\): \(26 = BE + \frac{12}{5} BE = \frac{17}{5} BE\).

Отсюда найдём \(BE = \frac{26 \times 5}{17} = \frac{130}{17}\) см.

Теперь найдём \(DE = \frac{12}{5} \times \frac{130}{17} = \frac{312}{17}\) см.

Ответ: \(BE = \frac{130}{17}\) см, \(DE = \frac{312}{17}\) см.