Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 283 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сумма углов при большем основании трапеции равна 90°. Докажите, что расстояние между серединами оснований трапеции равно полуразности оснований.
Дано: трапеция \(ABCD\), \( \angle A + \angle D = 90^\circ \), \(AE = DE\), \(BF = CF\). Нужно доказать: \(FE = \frac{AD — BC}{2}\).
Построим \(FM \parallel AB\), \(FN \parallel CD\), где \(M, N\) — точки на \(AD\).
В параллелограмме \(ABFM\) \(AM = BF\), \(\angle FMN = \angle A\).
В параллелограмме \(CFDN\) \(DN = CF = BF = AM\), \(\angle FNM = \angle D\).
В треугольнике \(MFN\) \(\angle F = 180^\circ — \angle M — \angle N = 90^\circ\).
Так как \(ME = AE — AM = DE — DN = NE\), то \(FE\) — медиана в \(MFN\), значит \(FE = \frac{1}{2} MN = ME\).
Подставляем: \(ME = AE — BF = \frac{AD — BC}{2}\).
Что и требовалось доказать.
В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) дано, что \(\angle A + \angle D = 90^\circ\). Также известно, что \(AE = DE\) и \(BF = CF\).
Пусть точки \(M\) и \(N\) лежат на основании \(AD\) так, что \(FM \parallel AB\) и \(FN \parallel CD\).
Рассмотрим параллелограмм \(ABFM\). В нем стороны \(AM\) и \(BF\) равны, то есть \(AM = BF\). Угол при вершине \(F\) в треугольнике \(MFN\) равен углу \(\angle A\), то есть \(\angle FMN = \angle A\).
Аналогично рассмотрим параллелограмм \(CFDN\). Здесь стороны \(DN\) и \(CF\) равны, то есть \(DN = CF\). Так как \(CF = BF\), то \(DN = BF = AM\). Угол при вершине \(N\) в треугольнике \(MFN\) равен углу \(\angle D\), то есть \(\angle FNM = \angle D\).
Суммируя углы \(\angle FMN\) и \(\angle FNM\), получаем \(\angle A + \angle D = 90^\circ\). Следовательно, угол \(\angle MFN\) в треугольнике \(MFN\) равен \(180^\circ — 90^\circ = 90^\circ\).
Теперь рассмотрим отрезки \(ME\) и \(NE\). Из условия \(AE = DE\) и построения следует, что \(ME = AE — AM = DE — DN = NE\).
Отрезок \(FE\) является медианой треугольника \(MFN\), так как \(E\) — середина отрезка \(MN\). Значит длина \(FE\) равна половине основания \(MN\), то есть \(FE = \frac{1}{2} MN = ME\).
Подставляя значения, получаем \(ME = AE — BF\). Поскольку \(AE = \frac{AD}{2}\) и \(BF = \frac{BC}{2}\), то
\(FE = \frac{AD}{2} — \frac{BC}{2} = \frac{AD — BC}{2}\).
Таким образом доказано, что расстояние между серединами оснований трапеции \(FE\) равно половине разности оснований: \(FE = \frac{AD — BC}{2}\).
