ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 29 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите неизвестную сторону треугольника \(DEF\), если:

1) \(DE = 4\) см, \(DF = 2\sqrt{3}\) см, \(\angle D = 30^\circ\);

2) \(DF = 3\) см, \(EF = 5\) см, \(\angle F = 120^\circ\).

Краткий ответ:

1) \(EF^2 = DE^2 + DF^2 — 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos(\angle D)\)
\(EF^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\)
\(EF^2 = 16 + 12 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(EF^2 = 16 + 12 — 24 = 4\)
\(EF = \sqrt{4} = 2\) см

2) \(DE^2 = DF^2 + EF^2 — 2 \cdot DF \cdot EF \cdot \cos(\angle F)\)
\(DE^2 = 3^2 + 5^2 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ\)
\(DE^2 = 9 + 25 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(DE^2 = 34 + 15 = 49\)
\(DE = \sqrt{49} = 7\) см

Подробный ответ:

В треугольнике \(DEF\) для нахождения стороны \(EF\) используем теорему косинусов. Она говорит, что квадрат стороны, лежащей напротив угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Запишем формулу:
\(EF^2 = DE^2 + DF^2 — 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos(\angle D)\).

Подставим известные значения:
\(DE = 4\), \(DF = 2\sqrt{3}\), \(\angle D = 30^\circ\).

Вычислим квадраты сторон:
\(DE^2 = 4^2 = 16\),
\(DF^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\).

Косинус угла \(30^\circ\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь подставим всё в формулу:
\(EF^2 = 16 + 12 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Упростим выражение:
\(2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24\).

Получаем:
\(EF^2 = 16 + 12 — 24 = 28 — 24 = 4\).

Извлечём корень:
\(EF = \sqrt{4} = 2\) см.

Для второго треугольника \(DEF\) найдём сторону \(DE\) по теореме косинусов.

Формула:
\(DE^2 = DF^2 + EF^2 — 2 \cdot DF \cdot EF \cdot \cos(\angle F)\).

Известно: \(DF = 3\), \(EF = 5\), \(\angle F = 120^\circ\).

Вычислим квадраты:
\(DF^2 = 3^2 = 9\),
\(EF^2 = 5^2 = 25\).

Косинус угла \(120^\circ\) равен \(-\frac{1}{2}\).

Подставим в формулу:
\(DE^2 = 9 + 25 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\).

Вычислим произведение:
\(- 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = +15\).

Сложим:
\(DE^2 = 9 + 25 + 15 = 49\).

Извлечём корень:
\(DE = \sqrt{49} = 7\) см.

Оцени решение