Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 29 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите неизвестную сторону треугольника \(DEF\), если:
1) \(DE = 4\) см, \(DF = 2\sqrt{3}\) см, \(\angle D = 30^\circ\);
2) \(DF = 3\) см, \(EF = 5\) см, \(\angle F = 120^\circ\).
1) \(EF^2 = DE^2 + DF^2 — 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos(\angle D)\)
\(EF^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\)
\(EF^2 = 16 + 12 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(EF^2 = 16 + 12 — 24 = 4\)
\(EF = \sqrt{4} = 2\) см
2) \(DE^2 = DF^2 + EF^2 — 2 \cdot DF \cdot EF \cdot \cos(\angle F)\)
\(DE^2 = 3^2 + 5^2 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ\)
\(DE^2 = 9 + 25 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(DE^2 = 34 + 15 = 49\)
\(DE = \sqrt{49} = 7\) см
В треугольнике \(DEF\) для нахождения стороны \(EF\) используем теорему косинусов. Она говорит, что квадрат стороны, лежащей напротив угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Запишем формулу:
\(EF^2 = DE^2 + DF^2 — 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos(\angle D)\).
Подставим известные значения:
\(DE = 4\), \(DF = 2\sqrt{3}\), \(\angle D = 30^\circ\).
Вычислим квадраты сторон:
\(DE^2 = 4^2 = 16\),
\(DF^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\).
Косинус угла \(30^\circ\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Теперь подставим всё в формулу:
\(EF^2 = 16 + 12 — 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Упростим выражение:
\(2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24\).
Получаем:
\(EF^2 = 16 + 12 — 24 = 28 — 24 = 4\).
Извлечём корень:
\(EF = \sqrt{4} = 2\) см.
Для второго треугольника \(DEF\) найдём сторону \(DE\) по теореме косинусов.
Формула:
\(DE^2 = DF^2 + EF^2 — 2 \cdot DF \cdot EF \cdot \cos(\angle F)\).
Известно: \(DF = 3\), \(EF = 5\), \(\angle F = 120^\circ\).
Вычислим квадраты:
\(DF^2 = 3^2 = 9\),
\(EF^2 = 5^2 = 25\).
Косинус угла \(120^\circ\) равен \(-\frac{1}{2}\).
Подставим в формулу:
\(DE^2 = 9 + 25 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\).
Вычислим произведение:
\(- 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = +15\).
Сложим:
\(DE^2 = 9 + 25 + 15 = 49\).
Извлечём корень:
\(DE = \sqrt{49} = 7\) см.
