ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 294 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что точка М (0; -1) является центром окружности, описанной около треугольника АВС, если А (6; -9), В (-6; 7), С (8; 5).

Краткий ответ:

Даны точки \( A(6; -9) \), \( B(-6; 7) \), \( C(8; 5) \), \( M(0; -1) \).

Вычислим расстояния:

\( AM = \sqrt{(6 — 0)^2 + (-9 — (-1))^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} =\)
\(= 10 \)

\( BM = \sqrt{(-6 — 0)^2 + (7 — (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} =\)
\(= 10 \)

\( CM = \sqrt{(8 — 0)^2 + (5 — (-1))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = \)
\(=10 \)

Так как \( AM = BM = CM = 10 \), точка \( M \) равноудалена от всех вершин треугольника, значит она центр описанной окружности.

Подробный ответ:

Рассмотрим точки \( A(6; -9) \), \( B(-6; 7) \), \( C(8; 5) \) и точку \( M(0; -1) \). Чтобы понять, является ли точка \( M \) центром описанной окружности треугольника \( ABC \), нужно проверить, равно ли расстояние от \( M \) до каждой из вершин треугольника. Центр описанной окружности — это точка, которая равноудалена от всех трёх вершин треугольника. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости. Если у нас есть две точки с координатами \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \), то расстояние между ними вычисляется по формуле \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \). Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, так как расстояние — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными разностям координат.

Сначала найдём расстояние от точки \( M \) до точки \( A \). Подставляем в формулу координаты: \( x_1 = 0 \), \( y_1 = -1 \), \( x_2 = 6 \), \( y_2 = -9 \). Тогда \( AM = \sqrt{(6 — 0)^2 + (-9 — (-1))^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} \). Корень из ста — это десять, значит \( AM = 10 \). Это значит, что точка \( M \) находится на расстоянии 10 единиц от точки \( A \).

Далее вычислим расстояние от точки \( M \) до точки \( B \). Подставим координаты: \( x_1 = 0 \), \( y_1 = -1 \), \( x_2 = -6 \), \( y_2 = 7 \). Тогда \( BM = \sqrt{(-6 — 0)^2 + (7 — (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} =\)
\(= \sqrt{100} = 10 \). Получается, что расстояние от \( M \) до точки \( B \) такое же, как и до точки \( A \), то есть 10 единиц.

Наконец, найдём расстояние от точки \( M \) до точки \( C \). Координаты: \( x_1 = 0 \), \( y_1 = -1 \), \( x_2 = 8 \), \( y_2 = 5 \). Тогда \( CM = \sqrt{(8 — 0)^2 + (5 — (-1))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} =\)
\(= \sqrt{100} = 10 \). Расстояние до точки \( C \) также равно 10.

Поскольку расстояния \( AM \), \( BM \) и \( CM \) равны и составляют 10 единиц, точка \( M \) находится на одинаковом расстоянии от всех трёх вершин треугольника \( ABC \). Это означает, что точка \( M \) является центром описанной окружности треугольника, то есть центром окружности, проходящей через все три вершины \( A \), \( B \) и \( C \). Такой центр существует у любого треугольника и определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон. В данном случае, проверка расстояний показала, что \( M(0; -1) \) действительно является этим центром.

Оцени решение