ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 3 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Углы \( \alpha \) и \( \beta \) смежные, \( \cos \alpha = -\frac{1}{6} \).
1) Найдите \( \cos \beta \).
2) Какой из углов \( \alpha \) и \( \beta \) является острым, а какой — тупым?

Углы \( \alpha \) и \( \beta \) смежные, значит \( \alpha + \beta = 180^\circ \).

1) Известно, что \( \cos \alpha = -\frac{1}{6} \).

2) Для смежных углов \( \cos \beta = -\cos \alpha \), значит

\( \cos \beta = -\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} \).

3) Так как \( \cos \alpha = -\frac{1}{6} \), угол \( \alpha \) тупой (косинус отрицательный).

4) Так как \( \cos \beta = \frac{1}{6} \), угол \( \beta \) острый (косинус положительный).

Углы \( \alpha \) и \( \beta \) являются смежными, что означает, что они образуют прямую линию вместе и их сумма равна \( 180^\circ \). Это базовое свойство смежных углов: когда два угла лежат на одной прямой и имеют общую сторону, сумма их мер всегда равна \( 180^\circ \). Таким образом, мы можем записать уравнение \( \alpha + \beta = 180^\circ \).

Дано, что \( \cos \alpha = -\frac{1}{6} \). Косинус угла показывает отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, а также указывает на положение угла на единичной окружности. Отрицательное значение косинуса говорит о том, что угол \( \alpha \) находится во второй или третьей четверти, где косинус отрицателен. Поскольку \( \alpha \) — это угол, входящий в пару смежных углов с \( \beta \), и сумма их равна \( 180^\circ \), \( \alpha \) не может быть острым, значит он тупой.

Для смежных углов известно, что косинус второго угла равен отрицательному косинусу первого: \( \cos \beta = -\cos \alpha \). Это связано с тем, что если угол \( \alpha \) находится во второй четверти (где косинус отрицателен), то угол \( \beta = 180^\circ — \alpha \) будет в первой четверти (где косинус положителен), и их косинусы связаны знаком минус. Подставляя значение, получаем \( \cos \beta = -\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} \), что положительно. Значит, угол \( \beta \) острый, так как косинус острого угла всегда положителен. Таким образом, мы нашли, что \( \alpha \) — тупой угол с косинусом \( -\frac{1}{6} \), а \( \beta \) — острый угол с косинусом \( \frac{1}{6} \).