ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 301 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (2; 7), В (-1; 4), С (1; 2) является прямоугольным.

Даны вершины треугольника \( A(2; 7) \), \( B(-1; 4) \), \( C(1; 2) \).

Вычислим длины сторон:

\( AB = \sqrt{(2 — (-1))^2 + (7 — 4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)

\( BC = \sqrt{(-1 — 1)^2 + (4 — 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \)

\( AC = \sqrt{(2 — 1)^2 + (7 — 2)^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \)

По теореме косинусов для угла \( B \):

\( \cos \angle B = \frac{AB^2 + BC^2 — AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{18 + 8 — 26}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{8}} = \frac{0}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{8}} = 0 \)

Значит, \( \angle B = \arccos 0 = 90^\circ \).

Что и требовалось доказать.

Даны точки \( A(2; 7) \), \( B(-1; 4) \), \( C(1; 2) \).

Сначала найдём длину стороны \( AB \). Используем формулу расстояния между двумя точками: \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \). Подставляем координаты: \( AB = \sqrt{(-1 — 2)^2 + (4 — 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \).

Теперь найдём длину стороны \( BC \). Аналогично: \( BC = \sqrt{(1 — (-1))^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \).

Далее найдём длину стороны \( AC \): \( AC = \sqrt{(1 — 2)^2 + (2 — 7)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \).

Чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным, используем теорему косинусов для угла при вершине \( B \). Формула: \( \cos \angle B = \frac{AB^2 + BC^2 — AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \).

Подставляем найденные значения: \( AB^2 = 18 \), \( BC^2 = 8 \), \( AC^2 = 26 \), получаем \( \cos \angle B = \frac{18 + 8 — 26}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{8}} = \frac{0}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{8}} = 0 \).

Так как \( \cos \angle B = 0 \), то угол \( B \) равен \( 90^\circ \).

Это значит, что треугольник \( ABC \) прямоугольный с прямым углом при вершине \( B \).