ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 302 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки А (-1; 2) и В (7; 4) являются вершинами прямоугольного треугольника. Может ли третья вершина треугольника иметь координаты:

1) (7; 2);

2) (2; -3)?

1) \( AB = \sqrt{(-1-7)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \)
\( BC = \sqrt{(7-7)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \)
\( AC = \sqrt{(7+1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{64 + 0} = 8 \)
Проверяем угол при \( C \):
\( \cos \angle C = \frac{AC^2 + BC^2 — AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{64 + 4 — 68}{2 \cdot 8 \cdot 2} = \frac{0}{32} = 0 \)
\( \angle C = \arccos 0 = 90^\circ \)
Ответ: да.

2) \( AB = \sqrt{(-1-7)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \)
\( BC = \sqrt{(7-2)^2 + (4+3)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \)
\( AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (2+3)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \)
Проверяем угол при \( A \):
\( \cos \angle A = \frac{AB^2 + AC^2 — BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{68 + 34 — 74}{2 \cdot \sqrt{68} \cdot \sqrt{34}} = \frac{28}{2 \sqrt{2312}} \neq 0 \)
Угол не равен \( 90^\circ \)
Ответ: нет.

Даны точки \( A(-1; 2) \) и \( B(7; 4) \), нужно проверить, может ли точка \( C(7; 2) \) быть третьей вершиной прямоугольного треугольника.

Сначала найдём длину отрезка \( AB \):
\( AB = \sqrt{(-1 — 7)^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \).

Теперь найдём длину отрезка \( BC \):
\( BC = \sqrt{(7 — 7)^2 + (4 — 2)^2} = \sqrt{0 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \).

Далее найдём длину отрезка \( AC \):
\( AC = \sqrt{(7 + 1)^2 + (2 — 2)^2} = \sqrt{8^2 + 0} = \sqrt{64} = 8 \).

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. Для этого проверим, равна ли сумма квадратов двух меньших сторон квадрату большей стороны. Сравним:
\( AC^2 + BC^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68 \),
\( AB^2 = (\sqrt{68})^2 = 68 \).

Так как \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \), угол напротив стороны \( AB \) равен \( 90^\circ \), и треугольник прямоугольный. Значит, точка \( C(7; 2) \) может быть вершиной прямоугольного треугольника.

Теперь проверим точку \( C(2; -3) \).

Вычислим длину отрезка \( AB \) заново:
\( AB = \sqrt{(-1 — 7)^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \).

Вычислим длину отрезка \( BC \):
\( BC = \sqrt{(7 — 2)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \).

Вычислим длину отрезка \( AC \):
\( AC = \sqrt{(-1 — 2)^2 + (2 + 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \).

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для любого угла:
Проверим угол при \( A \) с помощью косинуса:
\( \cos \angle A = \frac{AB^2 + AC^2 — BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{68 + 34 — 74}{2 \cdot \sqrt{68} \cdot \sqrt{34}} = \frac{28}{2 \cdot \sqrt{2312}} \).

Так как \( \cos \angle A \neq 0 \), угол при \( A \) не равен \( 90^\circ \).

Проверка других углов покажет, что ни один из них не равен \( 90^\circ \), значит треугольник не прямоугольный с точкой \( C(2; -3) \).