ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 303 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Лежат ли на одной прямой точки:
1) А (-2; -7), В (-1; -4) и С (5; 14);
2) D (-1; 3), E (2; 13) и F (5; 21)?
В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими.
1) Точки A(-2; -7), B(-1; -4), C(5; 14)
Вычисляем длины отрезков:
\( AB = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (-7 + 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2}=\)
\( = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)
\( BC = \sqrt{(-1 — 5)^2 + (-4 — 14)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-18)^2} =\)
\(= \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \)
\( AC = \sqrt{(-2 — 5)^2 + (-7 — 14)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-21)^2} =\)
\(= \sqrt{49 + 441} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10} \)
Проверяем: \( AC = AB + BC \), значит точки лежат на одной прямой, точка B между A и C.
2) Точки D(-1; 3), E(2; 13), F(5; 21)
Вычисляем длины отрезков:
\( DE = \sqrt{(-1 — 2)^2 + (3 — 13)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-10)^2} =\)
\(= \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \)
\( EF = \sqrt{(2 — 5)^2 + (13 — 21)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-8)^2} =\)
\(= \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \)
\( DF = \sqrt{(-1 — 5)^2 + (3 — 21)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-18)^2} =\)
\(= \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} \)
Проверяем: \( DF \neq DE + EF \), значит точки не лежат на одной прямой.
Ответ: 1) да, точка B между A и C; 2) нет.
Рассмотрим точки A(-2; -7), B(-1; -4), C(5; 14). Чтобы проверить, лежат ли они на одной прямой, найдем длины отрезков AB, BC и AC.
Вычислим длину AB по формуле расстояния между двумя точками:
\( AB = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (-7 + 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} =\)
\(= \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)
Длина BC равна:
\( BC = \sqrt{(-1 — 5)^2 + (-4 — 14)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-18)^2} =\)
\(= \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \)
Длина AC равна:
\( AC = \sqrt{(-2 — 5)^2 + (-7 — 14)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-21)^2} =\)
\(= \sqrt{49 + 441} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10} \)
Сравним сумму длин AB и BC с длиной AC:
\( AB + BC = \sqrt{10} + 6\sqrt{10} = 7\sqrt{10} = AC \)
Так как сумма равна длине AC, точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B находится между A и C.
Теперь рассмотрим точки D(-1; 3), E(2; 13), F(5; 21). Аналогично найдем длины отрезков DE, EF и DF.
Длина DE равна:
\( DE = \sqrt{(-1 — 2)^2 + (3 — 13)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-10)^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \)
Длина EF равна:
\( EF = \sqrt{(2 — 5)^2 + (13 — 21)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \)
Длина DF равна:
\( DF = \sqrt{(-1 — 5)^2 + (3 — 21)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-18)^2} = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} \)
Проверим, равна ли сумма DE и EF длине DF:
\( DE + EF = \sqrt{109} + \sqrt{73} \neq \sqrt{360} = DF \)
Сумма не равна длине DF, значит точки D, E и F не лежат на одной прямой.
Ответ: точки A, B, C лежат на одной прямой, точка B между A и C; точки D, E, F не лежат на одной прямой.
