ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 304 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что точки М (-4; 5), N (-10; 7) и К (8; 1) лежат на одной прямой, и укажите, какая из них лежит между двумя другими.
Расстояния между точками:
\( MN = \sqrt{(-10 + 4)^2 + (7 — 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10} \);
\( NK = \sqrt{(8 + 10)^2 + (1 — 7)^2} = \sqrt{18^2 + (-6)^2} = \sqrt{324 + 36} = 6\sqrt{10} \);
\( MK = \sqrt{(8 + 4)^2 + (1 — 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = 4\sqrt{10} \);
Проверяем равенство:
\( MK + MN = 4\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10} = NK \).
Значит, точки лежат на одной прямой, и точка \( M \) лежит между точками \( N \) и \( K \).
Для начала рассмотрим, как найти расстояние между двумя точками на координатной плоскости. Пусть даны точки \( M(-4; 5) \) и \( N(-10; 7) \). Расстояние между ними обозначим как \( MN \). Формула для нахождения расстояния между двумя точками с координатами \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \) выглядит так: \( MN = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \). Подставим наши значения: \( x_1 = -4 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = -10 \), \( y_2 = 7 \). Тогда вычисляем разности: \( x_2 — x_1 = -10 — (-4) = -6 \), \( y_2 — y_1 = 7 — 5 = 2 \). Возводим в квадрат: \( (-6)^2 = 36 \), \( 2^2 = 4 \). Складываем: \( 36 + 4 = 40 \). Теперь извлекаем квадратный корень: \( \sqrt{40} \). Можно представить \( 40 \) как \( 4 \times 10 \), тогда \( \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{4} \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10} \). Таким образом, расстояние \( MN = 2\sqrt{10} \).
Теперь перейдем к вычислению расстояния между точками \( N(-10; 7) \) и \( K(8; 1) \), обозначим это расстояние как \( NK \). Опять используем формулу: \( NK = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \), где \( x_1 = -10 \), \( y_1 = 7 \), \( x_2 = 8 \), \( y_2 = 1 \). Вычисляем разности: \( x_2 — x_1 = 8 — (-10) = 18 \), \( y_2 — y_1 = 1 — 7 = -6 \). Возводим в квадрат: \( 18^2 = 324 \), \( (-6)^2 = 36 \). Складываем: \( 324 + 36 = 360 \). Извлекаем корень: \( \sqrt{360} \). Представим \( 360 \) как \( 36 \times 10 \), тогда \( \sqrt{360} = \sqrt{36} \times \sqrt{10} = 6\sqrt{10} \). Значит, расстояние \( NK = 6\sqrt{10} \).
Далее вычислим расстояние между точками \( M(-4; 5) \) и \( K(8; 1) \), обозначим его как \( MK \). Снова используем ту же формулу: \( MK = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \), где \( x_1 = -4 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = 8 \), \( y_2 = 1 \). Вычисляем разности: \( x_2 — x_1 = 8 — (-4) = 12 \), \( y_2 — y_1 = 1 — 5 = -4 \). Возводим в квадрат: \( 12^2 = 144 \), \( (-4)^2 = 16 \). Складываем: \( 144 + 16 = 160 \). Извлекаем корень: \( \sqrt{160} \). Представим \( 160 \) как \( 16 \times 10 \), тогда \( \sqrt{160} = \sqrt{16} \times \sqrt{10} = 4\sqrt{10} \). Значит, расстояние \( MK = 4\sqrt{10} \).
Чтобы проверить, лежат ли точки \( M \), \( N \) и \( K \) на одной прямой, нужно проверить, равна ли сумма длин двух отрезков длине третьего. Проверим равенство: \( MK + MN = 4\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10} \). Сравним с \( NK = 6\sqrt{10} \). Поскольку \( MK + MN = NK \), это означает, что точки лежат на одной прямой. Более того, поскольку сумма отрезков \( MN \) и \( MK \) равна отрезку \( NK \), точка \( M \) находится между точками \( N \) и \( K \).
