ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 305 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) расстояние между точками С (3; 2) и D (\(x\); -1) равно 5?

Даны координаты двух точек: \(C(3; 2)\), \(D(x; -1)\), \(CD = 5\).
Расстояние между точками:
\(CD^{2} = (3 — x)^{2} + (2 — (-1))^{2}\)
\(5^{2} = (3 — x)^{2} + (2 + 1)^{2}\)
\(25 = (3 — x)^{2} + 3^{2}\)
\(25 = (3 — x)^{2} + 9\)
\(16 = (3 — x)^{2}\)
Раскроем скобки:
\(16 = 9 — 6x + x^{2}\)
\(x^{2} — 6x + 9 — 16 = 0\)
\(x^{2} — 6x — 7 = 0\)
Найдем дискриминант \(D\):
\(D = (-6)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-7)\)
\(D = 36 + 28\)
\(D = 64\)
Найдем корни уравнения:
\(x_{1} = \frac{-(-6) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(x_{2} = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7\)
Ответ: \(-1; 7\).

Даны две точки на плоскости: точка \(C\) с координатами \((3; 2)\) и точка \(D\) с координатами \((x; -1)\). Известно, что расстояние между этими двумя точками, обозначенное как \(CD\), равно \(5\).

Для нахождения неизвестной координаты \(x\) мы используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула расстояния \(d\) между двумя точками \((x_{1}; y_{1})\) и \((x_{2}; y_{2})\) определяется как:
\(d = \sqrt{(x_{2} — x_{1})^{2} + (y_{2} — y_{1})^{2}}\)

В нашем случае, пусть \((x_{1}; y_{1})\) будут координаты точки \(C(3; 2)\), и \((x_{2}; y_{2})\) будут координаты точки \(D(x; -1)\). Расстояние \(d\) равно \(CD = 5\). Подставим эти значения в формулу:
\(5 = \sqrt{(x — 3)^{2} + (-1 — 2)^{2}}\)

Теперь упростим выражение внутри квадратного корня. Сначала вычислим разность по координате \(y\):
\(-1 — 2 = -3\)
Затем возведем эту разность в квадрат:
\((-3)^{2} = 9\)

Подставим это значение обратно в уравнение:
\(5 = \sqrt{(x — 3)^{2} + 9}\)

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
\(5^{2} = \left(\sqrt{(x — 3)^{2} + 9}\right)^{2}\)
\(25 = (x — 3)^{2} + 9\)

Теперь нам нужно изолировать член \((x — 3)^{2}\). Для этого вычтем \(9\) из обеих частей уравнения:
\(25 — 9 = (x — 3)^{2}\)
\(16 = (x — 3)^{2}\)

Теперь, чтобы найти значение \(x\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.
\(\sqrt{16} = \sqrt{(x — 3)^{2}}\)
\(\pm 4 = x — 3\)

Это приводит к двум отдельным уравнениям, которые нужно решить:

Первый случай, когда \((x — 3)\) равно \(4\):
\(x — 3 = 4\)
Прибавим \(3\) к обеим частям уравнения:
\(x = 4 + 3\)
\(x = 7\)

Второй случай, когда \((x — 3)\) равно \(-4\):
\(x — 3 = -4\)
Прибавим \(3\) к обеим частям уравнения:
\(x = -4 + 3\)
\(x = -1\)

Таким образом, существуют два возможных значения для \(x\), при которых расстояние между точками \(C(3; 2)\) и \(D(x; -1)\) равно \(5\).

Ответ: \(-1; 7\).