ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 306 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек А (-1; -1) и В (2; 4).

Пусть искомая точка на оси абсцисс будет \(C(x; 0)\).
Расстояние от точки \(A(-1; -1)\) до \(C(x; 0)\) равно \(AC = \sqrt{(x — (-1))^2 + (0 — (-1))^2}\).
Расстояние от точки \(B(2; 4)\) до \(C(x; 0)\) равно \(BC = \sqrt{(x — 2)^2 + (0 — 4)^2}\).
Так как \(AC = BC\), то \(AC^2 = BC^2\).
\((x+1)^2 + 1^2 = (x-2)^2 + (-4)^2\)
\(x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 — 4x + 4 + 16\)
\(x^2 + 2x + 2 = x^2 — 4x + 20\)
\(2x + 2 = -4x + 20\)
\(6x = 18\)
\(x = \frac{18}{6}\)
\(x = 3\)
Координаты точки \(C\) равны \((3; 0)\).

Основная задача состоит в нахождении такой точки на горизонтальной оси, которая известна как ось абсцисс (ось X), которая будет находиться на одинаковом расстоянии от двух заданных точек в декартовой системе координат. Пусть эти две заданные точки будут \(A(-1; -1)\) и \(B(2; 4)\). Любая точка, лежащая на оси абсцисс, по определению имеет координату \(y\), равную нулю. Следовательно, искомую точку мы можем обозначить как \(C(x; 0)\), где \(x\) представляет собой неизвестное значение, которое нам предстоит определить. Ключевым инструментом для решения этой задачи является формула расстояния между двумя точками \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) в плоскости, которая выражается как \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Поскольку точка \(C\) должна быть равноудалена от точек \(A\) и \(B\), это означает, что расстояние от \(A\) до \(C\) должно быть равно расстоянию от \(B\) до \(C\), то есть \(AC = BC\). Для упрощения алгебраических вычислений и избавления от квадратного корня, мы возводим обе части этого равенства в квадрат, получая эквивалентное условие: \(AC^2 = BC^2\). Это преобразование допустимо, так как если два положительных числа равны, то их квадраты также равны.

Теперь приступим к вычислению квадратов расстояний для каждого из отрезков. Сначала рассмотрим отрезок \(AC\), соединяющий точки \(A(-1; -1)\) и \(C(x; 0)\). Применяя формулу квадрата расстояния, мы подставляем соответствующие координаты. Разность x-координат составляет \(x — (-1)\), что упрощается до \(x + 1\). Разность y-координат равна \(0 — (-1)\), что упрощается до \(1\). Таким образом, \(AC^2 = (x — (-1))^2 + (0 — (-1))^2 = (x+1)^2 + (1)^2\). Раскрывая скобки \((x+1)^2\), мы получаем \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1\). Прибавляя к этому результат \(1^2\), который равен \(1\), окончательно получаем \(AC^2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 2\). Далее, аналогичным образом вычисляем квадрат расстояния для отрезка \(BC\), соединяющего точки \(B(2; 4)\) и \(C(x; 0)\). Разность x-координат будет \(x — 2\). Разность y-координат равна \(0 — 4\), что приводит к \(-4\). Следовательно, \(BC^2 = (x — 2)^2 + (0 — 4)^2 = (x-2)^2 + (-4)^2\). Раскрывая скобки \((x-2)^2\), получаем \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 — 4x + 4\). Значение \((-4)^2\) равно \(16\). Объединяя эти члены, находим \(BC^2 = x^2 — 4x + 4 + 16 = x^2 — 4x + 20\).

Имея выражения для обоих квадратов расстояний, мы можем теперь составить уравнение, основываясь на условии равноудаленности \(AC^2 = BC^2\). Подставляя полученные выражения, получаем: \(x^2 + 2x + 2 = x^2 — 4x + 20\). Наша задача — решить это линейное уравнение относительно \(x\). Первым шагом является упрощение уравнения путем исключения члена \(x^2\), который присутствует по обе стороны равенства. Вычитая \(x^2\) из обеих частей уравнения, мы получаем \(2x + 2 = -4x + 20\). Следующим шагом является сбор всех членов, содержащих \(x\), на одной стороне уравнения, а всех постоянных членов — на другой. Для этого мы прибавляем \(4x\) к обеим частям уравнения: \(2x + 4x + 2 = -4x + 4x + 20\), что упрощается до \(6x + 2 = 20\). Чтобы выделить член с \(x\), мы вычитаем \(2\) из обеих частей уравнения: \(6x + 2 — 2 = 20 — 2\), что приводит к \(6x = 18\). Последний шаг — разделить обе части уравнения на \(6\), чтобы найти значение \(x\): \(x = \frac{18}{6}\), откуда следует, что \(x = 3\). Это значение \(x\) является x-координатой искомой точки. Поскольку точка лежит на оси абсцисс, ее y-координата равна \(0\). Таким образом, точка на оси абсцисс, равноудаленная от точек \(A\) и \(B\), имеет координаты \((3; 0)\).