ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 307 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек D (-2; -3) и Е (4; 1).
Даны точки \(D(-2; -3)\) и \(E(4; 1)\). Точка \(F\) лежит на оси ординат, поэтому ее координаты \( (0; y) \).
Поскольку точка \(F\) равноудалена от \(D\) и \(E\), то \(DF = EF\), или \(DF^2 = EF^2\).
Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 \).
Для \(DF^2\): \( (0 — (-2))^2 + (y — (-3))^2 = (2)^2 + (y + 3)^2 = 4 + y^2 + \)
\(+6y + 9 = y^2 + 6y + 13 \).
Для \(EF^2\): \( (0 — 4)^2 + (y — 1)^2 = (-4)^2 + y^2 — 2y + 1 = 16 + y^2 -\)
\(- 2y + 1 = y^2 — 2y + 17 \).
Приравниваем \(DF^2\) и \(EF^2\):
\(y^2 + 6y + 13 = y^2 — 2y + 17\).
Вычитаем \(y^2\) из обеих частей:
\(6y + 13 = -2y + 17\).
Прибавляем \(2y\) к обеим частям:
\(8y + 13 = 17\).
Вычитаем 13 из обеих частей:
\(8y = 4\).
Делим на 8:
\(y = \frac{4}{8} = 0.5\).
Координаты точки \(F\) равны \( (0; 0.5) \).
Пусть искомая точка на оси ординат будет обозначена как \(F\). Поскольку эта точка лежит на оси ординат (оси Y), ее абсцисса (x-координата) равна нулю. Таким образом, координаты точки \(F\) можно записать как \( (0; y) \).
Нам даны две точки: \(D(-2; -3)\) и \(E(4; 1)\). По условию, точка \(F\) равноудалена от точек \(D\) и \(E\). Это означает, что расстояние от \(D\) до \(F\) равно расстоянию от \(E\) до \(F\), то есть \(DF = EF\). Для удобства вычислений, чтобы избежать работы с квадратными корнями, мы можем возвести обе части этого равенства в квадрат: \(DF^2 = EF^2\).
Для вычисления квадрата расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) используется формула: \( (x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2 \).
Сначала вычислим квадрат расстояния от точки \(D(-2; -3)\) до точки \(F(0; y)\):
\(DF^2 = (0 — (-2))^2 + (y — (-3))^2\)
\(DF^2 = (0 + 2)^2 + (y + 3)^2\)
\(DF^2 = (2)^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2)\)
\(DF^2 = 4 + (y^2 + 6y + 9)\)
\(DF^2 = y^2 + 6y + 13\).
Теперь вычислим квадрат расстояния от точки \(E(4; 1)\) до точки \(F(0; y)\):
\(EF^2 = (0 — 4)^2 + (y — 1)^2\)
\(EF^2 = (-4)^2 + (y^2 — 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2)\)
\(EF^2 = 16 + (y^2 — 2y + 1)\)
\(EF^2 = y^2 — 2y + 17\).
Поскольку \(DF^2 = EF^2\), мы можем приравнять полученные выражения:
\(y^2 + 6y + 13 = y^2 — 2y + 17\).
Теперь решим это линейное уравнение относительно \(y\).
Вычтем \(y^2\) из обеих частей уравнения:
\(6y + 13 = -2y + 17\).
Перенесем все члены, содержащие \(y\), в одну сторону, а постоянные члены — в другую. Прибавим \(2y\) к обеим частям уравнения:
\(6y + 2y + 13 = 17\)
\(8y + 13 = 17\).
Вычтем 13 из обеих частей уравнения:
\(8y = 17 — 13\)
\(8y = 4\).
Разделим обе части уравнения на 8:
\(y = \frac{4}{8}\)
\(y = 0.5\).
Таким образом, ордината искомой точки \(F\) равна 0.5. Поскольку абсцисса точки \(F\) равна 0, координаты точки \(F\) составляют \( (0; 0.5) \).
