ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 308 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении 1 : 3, считая от точки А, если А (5; -3) и В (-3; 7).

Краткий ответ:

Даны точки \(A(5; -3)\) и \(B(-3; 7)\).
Точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\), то есть \(AC:CB = 1:3\).
Координаты точки \(C(x; y)\) можно найти по формулам:
\(x = \frac{x_A \cdot n + x_B \cdot m}{m + n}\)
\(y = \frac{y_A \cdot n + y_B \cdot m}{m + n}\)
Здесь \(x_A = 5\), \(y_A = -3\), \(x_B = -3\), \(y_B = 7\), \(m = 1\), \(n = 3\).

Вычисляем координату \(x\):
\(x = \frac{5 \cdot 3 + (-3) \cdot 1}{1 + 3} = \frac{15 — 3}{4} = \frac{12}{4} = 3\)

Вычисляем координату \(y\):
\(y = \frac{(-3) \cdot 3 + 7 \cdot 1}{1 + 3} = \frac{-9 + 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\)

Координаты точки \(C\) равны \((3; -0.5)\).

Подробный ответ:

Для нахождения координат точки, которая делит отрезок в заданном отношении, используется формула деления отрезка в данном отношении. Эта формула позволяет определить точные координаты точки, зная координаты концов отрезка и отношение, в котором эта точка делит отрезок.

В данном случае, нам даны координаты двух точек: точка \(A\) с координатами \((5; -3)\) и точка \(B\) с координатами \((-3; 7)\). Точка \(C\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\). Это означает, что длина отрезка \(AC\) относится к длине отрезка \(CB\) как \(1\) к \(3\). В формуле деления отрезка в отношении \(m:n\), где точка \(C\) делит отрезок \(AB\), значение \(m\) равно \(1\), а значение \(n\) равно \(3\).

Формулы для вычисления координат точки \(C(x_C; y_C)\), которая делит отрезок с концами \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\) в отношении \(m:n\), выглядят следующим образом:
Для координаты \(x_C\): \(x_C = \frac{x_1 \cdot n + x_2 \cdot m}{m + n}\)
Для координаты \(y_C\): \(y_C = \frac{y_1 \cdot n + y_2 \cdot m}{m + n}\)

Теперь подставим известные значения в эти формулы. Для точки \(A(5; -3)\) имеем \(x_1 = 5\) и \(y_1 = -3\). Для точки \(B(-3; 7)\) имеем \(x_2 = -3\) и \(y_2 = 7\). Значения отношения \(m = 1\) и \(n = 3\).

Вычислим координату \(x_C\):
\(x_C = \frac{5 \cdot 3 + (-3) \cdot 1}{1 + 3}\)
Сначала выполним умножение в числителе: \(5 \cdot 3 = 15\) и \((-3) \cdot 1 = -3\).
Затем сложим результаты в числителе: \(15 + (-3) = 15 — 3 = 12\).
Сложим значения в знаменателе: \(1 + 3 = 4\).
Таким образом, \(x_C = \frac{12}{4}\).
После деления получаем: \(x_C = 3\).

Теперь вычислим координату \(y_C\):
\(y_C = \frac{(-3) \cdot 3 + 7 \cdot 1}{1 + 3}\)
Сначала выполним умножение в числителе: \((-3) \cdot 3 = -9\) и \(7 \cdot 1 = 7\).
Затем сложим результаты в числителе: \(-9 + 7 = -2\).
Сложим значения в знаменателе: \(1 + 3 = 4\).
Таким образом, \(y_C = \frac{-2}{4}\).
После деления получаем: \(y_C = -0.5\).

Следовательно, координаты точки \(C\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\), равны \((3; -0.5)\).

Оцени решение