ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 309 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Четырёхугольник ABCD – параллелограмм, А (-5; 1), В (-4; 4), С (-1; 5). Найдите координаты вершины D.

1) Точка A удалена от точки B:
\(\Delta x = -5 + 4 = -1\), \(\Delta y = 1 — 4 = -3\);

2) Точка D удалена от точки C:
\(x = -1 — 1 = -2\), \(y = 5 — 3 = 2\);

Ответ: \((-2; 2)\).

Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD, зная координаты вершин A, B и C, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, образованные этими сторонами, будут равны. В данном случае, вектор \(\vec{BA}\) будет равен вектору \(\vec{CD}\).

Сначала определим координаты заданных вершин: A(\(-5, 1\)), B(\(-4, 4\)) и C(\(-1, 5\)). Мы ищем координаты вершины D, которые обозначим как \((x_D, y_D)\).

Далее вычислим компоненты вектора \(\vec{BA}\). Вектор, идущий от точки \(P_1(x_1, y_1)\) к точке \(P_2(x_2, y_2)\), имеет компоненты \((x_2 — x_1, y_2 — y_1)\). Для вектора \(\vec{BA}\) начальная точка — B(\(-4, 4\)), а конечная точка — A(\(-5, 1\)).
X-компонента вектора \(\vec{BA}\) будет равна \(x_A — x_B = -5 — (-4) = -5 + 4 = -1\).
Y-компонента вектора \(\vec{BA}\) будет равна \(y_A — y_B = 1 — 4 = -3\).
Таким образом, вектор \(\vec{BA}\) имеет компоненты \((-1, -3)\).

Теперь рассмотрим вектор \(\vec{CD}\). Начальная точка для этого вектора — C(\(-1, 5\)), а конечная точка — D(\(x_D, y_D\)).
X-компонента вектора \(\vec{CD}\) будет равна \(x_D — x_C = x_D — (-1) = x_D + 1\).
Y-компонента вектора \(\vec{CD}\) будет равна \(y_D — y_C = y_D — 5\).

Поскольку в параллелограмме ABCD векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{CD}\) равны, их соответствующие компоненты также должны быть равны.
Приравниваем X-компоненты: \(x_D + 1 = -1\).
Приравниваем Y-компоненты: \(y_D — 5 = -3\).

Теперь решим каждое из этих уравнений для нахождения \(x_D\) и \(y_D\).
Из уравнения для X-компоненты:
\(x_D + 1 = -1\)
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
\(x_D = -1 — 1\)
\(x_D = -2\)

Из уравнения для Y-компоненты:
\(y_D — 5 = -3\)
Прибавим 5 к обеим частям уравнения:
\(y_D = -3 + 5\)
\(y_D = 2\)

Таким образом, координаты вершины D равны \((-2, 2)\).

Ответ: \((-2; 2)\)