ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 31 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны \(\sqrt{18}\) см, 5 см и 7 см. Найдите средний по величине угол треугольника.

Даны стороны: \(a = \sqrt{18}\), \(b = 5\), \(c = 7\).

Вычисляем косинус угла напротив стороны \(b\):

\(\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 — b^2}{2ac} = \frac{18 + 49 — 25}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot 7} = \frac{42}{14 \sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Угол \(\beta = 45^\circ\).

Даны стороны треугольника: \(a = \sqrt{18}\), \(b = 5\), \(c = 7\).

Сначала найдём квадрат каждой стороны: \(a^2 = (\sqrt{18})^2 = 18\), \(b^2 = 5^2 = 25\), \(c^2 = 7^2 = 49\).

Чтобы найти средний по величине угол, определим, к какой стороне он относится. Самая большая сторона — \(c = 7\), самая маленькая — \(a = \sqrt{18} \approx 4{,}24\), значит средняя — \(b = 5\).

Воспользуемся теоремой косинусов для угла \(\beta\), который лежит напротив стороны \(b\). Формула: \(\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 — b^2}{2ac}\).

Подставим значения: \(\cos \beta = \frac{18 + 49 — 25}{2 \cdot \sqrt{18} \cdot 7} = \frac{42}{14 \sqrt{18}}\).

Упростим: \(\frac{42}{14 \sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}}\).

Так как \(\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}\), получаем \(\frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Значит, \(\cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда \(\beta = 45^\circ\).